Уравнения Максвелла

Уравне́ния Ма́ксвелла — система уравнений в дифференциальной или интегральной форме, описывающих электромагнитное поле и его связь с электрическими зарядами и токами в вакууме и сплошных средах

Закон Гаусса:

Электрическое поле из-за точечного заряда q, расположенного в начале координат в точке, заданной вектором r, равно

E (r) = q / 4π∈º r / r³

И за счет поверхностного интегрирования замкнутой поверхности, окружающей заряд, мы получаем

∮ˢ En.dα = q / 4π∈º∫ r / r³ n.dα

→ ∮ˢ En.dα = q / 4π∈º (4π) = q / ∈º

Поскольку угол, обращенный к области dα, лежащей на сферической поверхности S.

∫ r / r³ n.  dα = 4π

Если запечатанная поверхность имеет несколько зарядов, она

∮ˢ En.dα = 1 / ∈º ∑ⁿᵢ = ₁ qi = 1 / ∈º ∫ᵥ pdv → (1)

И, используя теорию интервалов

∮ˢ En.dα = ∫ᵥ div F dv 

Отсюда закон Гаусса можно выразить формулой

∮ˢ En.dα = ∫ᵥ div E dv → (2) 

Приравнивая уравнения (1) и (2), находим

∫ᵥ div E dv = 1 / ∈º ∫ᵥ pdv

divE = 1 / ∈º ρ 

Но D = εºE и отсюда находим divD = ∈º divE

→ divD = ρ → (1 *)

Это одно из дифференциальных уравнений Максвелла.

Магнитный поток:

Фарадей экспериментально обнаружил, что электромагнитная индукция

(Электродвижущая сила, создаваемая магнитом)

Это дано отношениями

∃ = — dΦ / dt & ∃ = ∮ E. dl

B = dΦ / dA → Φ = ∫ B .ndα → ∃ = — dΦ / dt

= — d / dt ∫ B .ndα

→ ∮ E. Dl = — d / dt ∫ B .ndα

Из теоремы Стокса: F. Dl = ∫ cur LF .ndα∮

→ ∮ E .dl = ∫ cur LE .ndα

→ ∫ cur LE .ndα = — ∫ ∂B / ∂t.  ndα

→ cur LE = — ∂B / ∂t → (2 *)

Он представляет собой второе дифференциальное уравнение Максвелла.

Плотность магнитного потока:

После того, как Орстед обнаружил, что токи генерируют электрические и магнитные поля, он поместил ампер, результаты многих лабораторных экспериментов, которые Бают и Саффарт использовали при установлении зависимости плотности магнитного потока. И обратно пропорционально квадрату расстояния между точками. и компонент длины

B ∝μ₀IdL sinθ / 4πr² → B = kₘμ₀IdL sinθ / 4πr²

B = μ₀ / 4π ∮ IdLxr / r³

А для двух электрических цепей, которые генерируют два магнитных поля, предыдущая связь становится суммой

Плотность потока для каждого элемента длиной dL

B (r) = μ₀ / 4π∮ IdL x (r₂ — r₁ / | r₂ — r₁ | ³

А непрерывное распределение тока на единицу длины — это плотность

Дж (г) на единицу объема

B (r) = μ₀ / 4π∫ᵥ J (r₁) x (r₂ — r₁) / | r₂ — r₁ | ³dv

→ divB (r) = μ₀ / 4π ∫ᵥdiv (J (r₁) x

(r₂ — r₁) / | r₂ — r₁ | ³dv

И из векторных совпадений

div (A × B) = — A. cur LB + B. cur LA

B (r) = μ₀I / 4π∫ᵥ — (J (r) curL (r₂ — r₁) / | r₂ — r₁ | ³ +

(r₂ — r₁) / | r₂ — r₁ | ³.  curLJ (r)] dv

Но всегда curIL = 0

→ divB (r) = μ₀I / 4π∫ᵥ — J (r₁) curL

(r — r₁) / | r₂ — r₁ | ³ dv

Но количество

(r — r₁) / | r₂ — r₁ | ³

Это наклон величины (r₂ — r₁) / — 1, и поскольку кривизна любого наклона равна нулю, мы находим

divB = 0 → (3 *)

Он представляет собой третье дифференциальное уравнение Максвелла и подразумевает, что не может быть единственного магнитного полюса.

Также при изучении магнетизма мы обнаружили, что интенсивность магнитного потока определяется соотношением

B = θ / A → dθ / dA = B → θ = ∮ˢ Bn.  dα

Из теории дивергенции находим θ = ∫ᵥ divBdv = 0 →

Если магнитный поток через замкнутую поверхность равен нулю, то доказано, что магнитный поток через контур не зависит от используемой поверхности.

Закон Ампера и ток смещения:

Из уравнения для плотности магнитного поля

B (r) = μ₀ / 4π ∫ᵥ J (r₁) ⨯ (r₂ — r₁) / | r₂ — r₁ | ³ dv

Взяв свертку приведенного выше уравнения и включив в нее дифференциал по вектору r, и вот почему этот научный эффект ограничен фактором

(r — r₁) / | r₂ — r₁ | ³

Понятно, что взятие дифференциала по r может быть заменено по отношению к вектору r при условии, что стоит отрицательный знак, и если это изменение сделано при взятии производной, мы можем использовать метод интегрирования делением для перенести производную на фактор

J (r) находится в одной границе, где он появляется как (r) divJ

Таким образом, интегральное значение первого члена обращается в нуль, а интеграл второго члена распадается на следующие

cur LB = μ₀J (r) → (*)

Это уравнение представляет собой дифференциальную формулу закона Ампера и учитывает все типы токов, которые могут быть магнитным полем. Это уравнение можно записать в формуле

cur LB = μ₀ (J + Jm)

Но Jm = cur LM

Где M представляет собой коэффициент намагничивания

→ cur LB = μ₀J + μ₀ cur LM

curL (1 / μ₀ B — M) = J 

Но напряженность магнитного поля H

(1 / μ₀ B — M) = H → cur LH = J 

Возвращаясь к уравнению (*) → cur LB = μ₀J (r)

И используя теорию Стокса

∫s cur LB.  ndα = ∮c B.  дл 

И заменяя cur LB, получаем

∮c Б.  dL = μ₀ ∫s J.  ndα

B / μ₀ = H → ∮c H.  dL = s J.  ndα

Где J представляет собой плотность тока, ndα — количество заряженных частиц на единицу поверхности, а H — напряженность поля.

Магнитный и применяя закон Ампера к цепи к замкнутой кривой и поверхности S

∮c Х.  dL = s J.  ndα = L 

Две поверхности S₁ представляют собой замкнутую поверхность

(Они встречаются на кривой c). Уравнение можно записать в следующем виде

∫s₂ J.  n₂dα + ∫s₁ J.  n₁ dα ≠ 0

∮s₁ + s₂ J.  ndα ≠ 0 

И путем замены divJ =, где J исчезает.  Но

divJ = ∂ / ∂x J I + ∂ / ∂y JJ + / ∂z k = 0

И от пробелов

∮s₁ + s₂ J.  ndα = ∫ᵥ divJ dv

Предположим, что (*) → J + α = и вектор α делает div

Равно нулю

divJ = divJ + divα

А из закона непрерывности (сохранения заряда) можно подставить

divJ = — ∂ρ / ∂t

Таким образом, divJ = — ∂ρ / ∂t + divα

Однако плотность заряда связана с электрическим смещением механической зависимостью

divD = ρ → divJ = — ∂ρ / ∂t + divα = 0

→ — ∂ρ / ∂t = — divα → α = ∂D / ∂t

Возвращаясь к уравнению (*) → cur LB = μ₀J (r)

Будьте по формуле

J = J + ∂D / ∂t

Но J = curLH

→ J = cur LH = J + ∂D / ∂t → (*)

И ограничить

∂D / ∂t

Он называется током смещения и является одним из основных дополнений Максвелла к электромагнетизму, и это одно из уравнений Максвелла, которые представляют собой обобщение экспериментальных наблюдений и применимы к большинству случаев.

Смещение J + переход J = J → общее curLH = J

J = dI / dr = dVσ / dr = σ 

dV / dr =σE