С первого взгляда кажется, что математика и музыка – совершенно разные сферы. Но так ли это на самом деле? Давайте выяснять.
Многие знают, что один из самых известных композиторов – Бетховен был глух большую часть своей карьеры. Так как же ему удалось стать таким гениальным и писать действительно замечательную музыку? Согласитесь, это звучит довольно абсурдно и парадоксально. На практике ответ состоит в его математическом понимании музыки и фортепианных нот. Самым удачным примером для его наследия- знаменитая симфония № 5, в которой можно предположить, что автор при создании использовал понятие по теории групп.
Следует уточнить, что Бетховен никогда не изучал высшую математику, не говоря уже и о вышеупомянутом разделе, который считается одной из самых высоких форм конкретной науки. Несмотря на это, композитор виртуозно воспроизводит и даже своеобразно демонстрирует обобщенные понятия дисциплины.
Тем не менее он неоднократно пользуется тем, что кристаллографы называют пространственной группой преобразований симметрии. В настоящее время положения теории групп используют в квантовой механике, ядерной физике и других отраслях, которым благодаря технической революции
Давайте рассмотрим интуитивное представление о превращении симметрии в симфонии №5. Первая часть состоит из короткого мотива судьбы из четырех нот. Первые три ноты одинаковы. Четвертая нота отличается – это так называемая «нота неожиданности». Гениальность Бетховена заключалась в том, чтобы сделать его ударным. То есть мы получаем условную последовательность 5553, где 3 – это та самая “нота неожиданность”. Это пространственная группа по высоте. Бетховен вероятно сознательно применял пространство не менее с тремя измерениями: высотой, временем и громкостью.
В начале симфонии №5 Бетховен вводит член группы: 5553. Затем наступает короткая пауза, чтобы слушатель мог узнать этот член, затем Бетховен выполняет операцию трансляции 4442. Каждая нота транспонируется вниз. В результате выходит еще один член той же группы. Затем снова пауза, чтобы слушатель смог отличить оператор трансляции. Бетховен пока не добавляет других, более сложных операторов.
В следующих тактах он последовательно применяет оператор вращения, создавая структуру 3555, а также оператор зеркального отображения, создавая структуру 7555. Приблизительно в середине первой части Бетховен вводит нечто подобное унитарному члену: 5555. Обратите внимание, что он просто повторяет группы, являющиеся унитарной операцией над унитарным членом, и эта операция вводится последней (унитарное преобразование является самым сложным).
В завершающих быстрых частях Бетховен снова использует ту же группу. На этот раз он использует только унитарный член на высшем уровне. Весь мотив повторяется трижды. Что интересно, по мотиву идет четвертая последовательность – неожиданная последовательность 7654, которая не является членом. Три раза повторяющийся унитарный член и неожиданная последовательность составляют супер группу оригинальной группы. Бетховен обобщил понятие группы. Супер группа содержит три члена и один элемент, не являющийся членом начальной группы, удовлетворяющий условиям начальной группы (три повтора и неожиданность).
Таким образом, можно обобщить, что начало симфонии №5 Бетховена в переводе на язык математики звучит как первая глава из учебника по теории групп. Симфония номер 5 – не единичный случай применения такого математического фокуса о четырех нотах. Его можно встретить и в других произведениях автора.
Существуют факты, позволяющие поддерживать гипотезу, что Бетховен интуитивно понимал пространство теории групп и сознательно разделял их. Но математически невозможно, чтобы структуры композитора так точно соотносились с четкими положениями и появились случайно. Это служит прямым доказательством, что Бетховен экспериментировал с точными науками, которые в то время еще не были зафиксированы в математике.
Следует отметить, что композитор жил и творил в 1700-х годах, а теория групп как отдельная дисциплина и интерес к ней у математиков, физиков возник только в 1800-х. То есть можно утверждать, что гениальность Бетховена опередила науку почти на один век.
Почему такая формула оказалась столь успешной в этой симфонии?
Достаточно всего лишь два слова: простота и однообразие. Интуитивно можно почувствовать существование любого шаблона, но это производит эмоциональный эффект и все больше увлекает аудиторию, позволяющую Бетховену держать под контролем слушателей. А монотонность действует как дополнительный фактор, концентрирующий зрителя только на музыке.
Однако кто знает возможно и в самом деле все эти «игры разума» — это просто совпадения. Невозможно отрицать факт того, что «любой композитор может писать в тишине так же, как и поэт может писать стихи в своей голове» . Здесь можно провести очень узкую параллель: когда составляют поэзию, то в этом деле опираются на жизненный опыт работы с языком и знания синтаксиса и семантики, перебирают несколько вариантов в своей голове. Сначала слышат мысленно, а потом записывают на листе. А дальше начинается процесс усовершенствования.
Музыка же работает практически аналогично – сначала все рождается в голове и чем больше у тебя опыта, тем легче воспроизвести в своих мыслях мелодию, и почувствовать звучит ли она хорошо или плохо. Ниже представлен эскиз создания симфонии №6, на котором четко видно, что методом пробы и ошибок Бетховен, хотя и глух и все же подбирал ноты и вероятно имел такое воображение и приобретенное мастерство, что мог чувствовать их в своей голове сквозь бумагу.
У Бетховена к моменту начала проблем со слухом был уже опыт и приобретенное понимание синтаксиса и семантики музыки, и он вероятно использовал это для создания новых композиций. Удивительно не то, что он создал композицию после потери слуха, а то, что он написал так искусно, не проверяя на слух. Это действительно тяжело, но нельзя утверждать, что совершенно невозможно.
Однозначно музыка является разновидностью математики. Греческие философы, такие как Аристотель и Плутон, в своих далеких временах уже верили в существование крепкой связи между этими двумя отраслями и смело считали, что каждая мелодия на прямую зависит от точной науки.
Говорят, что всем нам известный Пифагор установил связь между, как казалось, вообще не совмещенными сферами науки, когда услышал, как кузнец забивает наковальню. Он выяснил, что ушибы образуют гармонические ритмы благодаря их порядку. Они были в соотношении 6,8,9 и 12 фунтов, которые образовывали ноты: К, Фа, Соль, К.
Великие композиторы, как мы увидели на примере Бетховена, предположительно исследовали и использовали взаимосвязь математики и музыки. Но, вероятно, сложно ориентироваться в жизни только на мастерство и опыт. Думаю, в произведениях глухого композитора, кроме его таланта присутствует и острый интуитивный математический склад ума. По-другому сложно осмыслить его гениальность, несмотря на порок слуха.
Авто — Кристина Дмитриева, ФММ ЛНУ им. И. Франка
Источник: Книга “Fundamentals of Piano Practice”, Chuan C. Chang
_____________________________________________________
✒️Подписывайтесь на наш Telegram канал «Гранит науки»
✒️Читайте нас на Яндекс Дзен
📩У нас есть страница на Facebook и Вконтакте
📩Журнал «Гранит Науки» в Тeletype
📩Прислать статью unbelievablesci55@gmail.com
📩Написать редактору glavred@un-sci.com