Упростите квантовую механику

По материалам лекции по квантовой механике Стивена Вайнберга и книги «Общие принципы механики», гл.3

Известно, что волновая механика может быть полезна при решении физических задач.  Однако есть много ограничений, которые ограничивают ее использование.  Физические состояния описываются волновыми функциями, которые являются функциями положения частиц системы, но почему мы должны выделять положение как главный наблюдаемый физический элемент? 

Например, мы можем захотеть описать состояния в терминах амплитуд вероятности частиц иметь определенные значения линейного импульса или энергии, а не положения.  Более серьезным фундаментальным ограничением является существование свойств физических систем, которые вообще нельзя описать как функции от положений и моментов набора частиц.  Одной из таких функций является вращение. Другой характеристикой является величина электрического или магнитного поля в точке пространства. Здесь будут описаны принципы квантовой механики в форме, которая по сути является «теорией преобразований» Дирака.  Эта формулировка обобщается как на волновую механику Шредингера, так и на матричную механику Гейзенберга, и является достаточно всеобъемлющей, чтобы ее можно было применить к любой физической системе.

Состояния

Первое предположение квантовой механики состоит в том, что физические состояния могут быть представлены векторами в абстрактном пространстве, известном как гильбертово пространство.  Прежде чем перейти к гильбертову пространству, я хотел бы немного поговорить о векторах в целом.  В наших предварительных исследованиях мы узнаем, что векторы — это величины, которые полностью определяются знанием величины и направления.  Позже, когда мы изучаем аналитическую геометрию, мы вместо этого учимся описывать вектор в его d-мерном пространстве серией чисел d, называемых компонентами вектора d. 

Этот последний подход хорошо подходит для вычислений, но в некоторых отношениях учебники лучше, поскольку он позволяет нам описывать отношения между векторами независимо от используемой системы координат.  Например, утверждение, что вектор параллелен другому вектору или перпендикулярен третьему вектору, не имеет ничего общего с тем, как мы выбираем систему координат.

Здесь мы сформулируем, что мы подразумеваем под векторными пространствами в целом и гильбертовыми пространствами в частности, таким образом, который не зависит от координат, которые мы используем для описания направлений в этих пространствах.  С этой точки зрения волновые функции, которые мы использовали для описания физических состояний в волновой механике, следует рассматривать как набор компонентов ψ (x) абстрактного вектора Ψ, известного как вектор состояния, в бесконечномерных пространствах, в которых мы выберите оси координат так, чтобы они представляли все значения, которые могут быть приняты позицией x.  Вместо этого сам вектор состояния может быть описан волновой функцией ψ (p) в импульсном пространстве, которая определяется как коэффициенты exp (2πip. X / h) в волновом пучке как

 ψ (x) = h⁻¹ ⁵ ∫ d³p exp (ip. x / h) ψ • (p)

 ψ • (p) составлен из того же вектора состояния Ψ в направлении, соответствующем определенному значению p кинетического импульса.  Концептуально это не сильно отличается от переключения для описания векторов положения с точки зрения длины, ширины и высоты к другому набору координат в трехмерном пространстве.  Или, согласно принципу суперпозиции, мы можем записать (x) ψ в терминах волновых функций ψₙ (x), которые имеют определенные энергии.

 ψ (x) = Σₙ cₙψₙ (x)

где мы рассматриваем коэффициенты cₙ как компоненты одного и того же вектора состояния вдоль направлений, характеризующихся разными значениями энергии.  Это всего лишь примеры.  Наше обсуждение гильбертова пространства не будет зависеть от того, как мы выбираем координаты.

Пространство Гельберта

Гильбертово пространство — это особый тип нормированного комплексного векторного пространства.  В общем, любое векторное пространство состоит из величин, ‘Ψ,’ Ψ, … и т. д., характеризующихся следующим:

 • Если Ψ и — векторы, то их сумма Ψ ‘+ также является вектором в том же пространстве.

 Также процесс сбора инклюзивен.

 Ψ + (Ψ ‘+ Ψ «) = (Ψ + Ψ’) + ψ» (3-1-1)

 и взаимозаменяемость

 Ψ + Ψ ‘= Ψ’ + Ψ (3-1-2)

 • Если Ψ — вектор, то αΨ также вектор, где α — любая скалярная величина.  Действительное векторное пространство — это пространство, в котором эти величины должны быть действительными. 

В сложном векторном пространстве, таком как гильбертово пространство квантовой механики, скалярные величины, такие как α, могут быть комплексными.  Для вещественных или комплексных векторных пространств умножение на число представляет собой операцию интегрирования.

 α (α’Ψ) = (α α ‘) Ψ (3-1-3)

 Умножение также может быть

α (Ψ + Ψ ‘) = α Ψ + α Ψ’ (3-1-4)

 (α + α ‘) Ψ = α Ψ + α’ Ψ (3-1-5)

 • Существует один нулевой вектор 0 такой, что для любого вектора Ψ или числа α

 0 + Ψ = Ψ, 0Ψ = 0, α0 = 0-3 (1-6)

Калиброванное векторное пространство — это векторное пространство, в котором есть любые два вектора Ψ и Ψ, число, их скалярное произведение (Ψ, Ψ), которое является линейным.

 («, [ΑΨ + α’Ψ ‘]) = α (Ψ», Ψ) + α’ (Ψ «, Ψ ‘) (3-1-7)

 и симметрия

 (Ψ ‘. Ψ) * = (Ψ. Ψ’) (3-1-8)

и положительное, то есть скалярное произведение вектора на себя является положительным вещественным числом, т. е.

 (Ψ, Ψ)> 0 для Ψ ≠ 0 (3-1-9)

Обратите внимание, что (Ψ, 0) = 0 для любого вектора, особенно в случае Ψ = 0, потому что для любого числа α и вектора, то

 α (Ψ, 0) = (Ψ, α0) = (Ψ, 0)

 Что возможно только в том случае, если

 (ψ, 0) = 0

 Для вещественных векторных пространств любое стандартное произведение (Ψ, ψ) является вещественным, и комплексное сопряжение в уравнении (3-1-8) не действует;  Для сложных векторных пространств скалярное произведение должно быть комплексным.  Из уравнений (3-1-7) и (3-1-8) получается, что

 ([αΨ + α’Ψ ‘], Ψ «) = α * (Ψ, Ψ’) + α ‘* (Ψ’, Ψ ») (3-1-10)

 Помимо того, что гильбертово пространство является откалиброванным комплексным векторным пространством, оно либо имеет конечный размер, либо удовлетворяет некоторым техническим условиям непрерывности, которые позволяют рассматривать его относительно друг друга, как если бы его размеры были конечными.  Чтобы объяснить это, сначала необходимо сказать что-то о независимых или полных наборах векторов и о том, как это позволяет нам определять размеры векторного пространства.

 Независимые векторы:

Набор векторов, Ψ₂, … и т. Д. Называется независимым, если никакая линейная комбинация этих векторов не обращается в нуль.  То есть, если Ψ₁, Ψ₂, … и т. Д. — независимые векторы, а α₁, α₂, … и т. д. — набор чисел.  тогда

 α₁Ψ₁ + α₂Ψ₂ + … ≠ 0

 И если это

 α₁Ψ₁ + α₂Ψ₂ + … = 0

 Это невозможно, если

 α₁ = α₂ = … = 0

Пока ни один из них не может быть записан как линейное интегрирование других векторов.  В частности, набор векторов Ψ₁, Ψ₂, … и т. Д. Независим, если они ортогональны;  То есть, если (Ψᵢ, Ψⱼ) = 0 в случае i ≠ j, для такого набора ортогональных векторов выполняется соотношение

 α₁Ψ₁ + α₂Ψ₂ + … = 0

 Затем, выполняя стандартное умножение на любой из.  Мы получили

 αᵢ (Ψᵢ, Ψᵢ) = 0

Тогда αᵢ = 0 для всех значений i.  Хотя обратное неверно, то есть векторы независимого набора не должны быть ортогональными, но если набор векторов Ψᵢ, в котором он

 1≤ я ≤ п

независимы, поэтому мы всегда можем найти n векторов Φᵢ, которые являются их линейным интегрированием;  Которая не только независима, но и ортогональна.

Полнота

Набор векторов Ψ₁, Ψ₂, … и т. д. называется полным, если любой вектор Ψ может быть выражен как линейное интегрирование функций Ψᵢ

 Ψ = α₁Ψ₁ + α₂Ψ₂ + … + αₙΨₙ

Векторы полного набора не обязательно должны быть независимыми, но если они не являются независимыми, мы всегда можем найти их подмножество, которое является полным и независимым, опуская любые наборы векторов, которые могут быть записаны как линейные наборы.  Учитывая полный независимый набор векторов описанным ранее способом, мы можем найти набор векторов Φᵢ, которые являются ортогональными и независимыми, и, согласно этой конструкции, каждый набор векторов;  Результат линейного слияния векторов Φᵢ полный;  Говорят, что любой полный набор ортогональных векторов составляет базисные векторы гильбертова пространства.

Векторное пространство называется конечным с d размерностями, если наибольшее возможное число независимых векторов равно d.  В таком пространстве также полный набор независимых векторов Φᵢ;  Потому что, если существует вектор Ψ, который нельзя записать как линейное слияние

 Σᵢ₌₁ᵈ αᵢ Φᵢ

Тогда будет d +1 независимых векторов: Ψ плюс функции Φᵢ;  Кроме того, никакое множество, для которого существует число векторов γᵢ меньше d, не может быть полным, потому что если он существует, то каждый вектор Φᵢ;  Из независимых векторов d это можно записать как:

 Φᵢ = Σᵢ₌₁ᵈ⁻¹ cᵢⱼ γⱼ

 (то есть как его линейное слияние, а это противоречит его независимости)

Для наших целей гильбертово пространство можно определить как калиброванное комплексное векторное пространство, которое является либо конечным, либо бесконечным, в котором существует конечный или бесконечный набор независимых ортогональных векторов Φᵢ, который является полным в том смысле, что для любого вектора a число αᵢ, которое приближает компиляцию Ψ

 Σᵢ₌₁ᵈ αᵢ Φᵢ → Ψ

 где d ≡ ∞. Под этим мы подразумеваем, что (Ωᴺ, Ωᴺ) → 0, когда N → ∞, где

 Ωᴺ = Ψ — Σᵢ₌₁ᴺ αᵢ Φᵢ

Последнее условие позволяет нам применять некоторые математические методы, как если бы гильбертово пространство имело конечные размеры.

Компоненты вектора состояния Ψ относительно базы полного набора ортогональных векторов Φᵢ — это просто числа в сборке

 Ψ = Σᵢ₌₁ᴺ αᵢ Φᵢ

Он имеет единственное значение, которое мы получаем, умножая стандартное суммирование Σᵢ₌₁ᴺ αᵢ Φᵢ;  с Φⱼ, поэтому мы можем записать эти соединения как:

 αⱼ = (Φⱼ, Ψ) / (Φⱼ, Φⱼ)

так что любой вектор Ψ записывается через весь набор ортогональных векторов Φⱼ;  Следующее

 Ψ = Σⱼ [(Φⱼ, Ψ) / (Φⱼ, Φⱼ)] Φⱼ (3-1-11)

 Это позволяет записать скалярное произведение для любых векторов Ψ и Ψ как

 (Ψ, Ψ ‘) = Σᵢ, ⱼ {[(Φⱼ, Ψ) * / (Φⱼ, Φⱼ)]]} {[(Φᵢ,’) / (Φᵢ, Φᵢ)]} Φⱼ Φᵢ

 А поскольку базовые векторы перпендикулярны, то

 (Ψ, Ψ ‘) = Σⱼ (Φᵢ, Ψ) * (Φᵢ, Ψ) / (Φᵢ, Φᵢ) (3-1-12)

(Здесь мы ограничимся только полным набором базовых векторов Φᵢ, который невозможно сосчитать. Случай непрерывных базовых векторов будет рассмотрен в следующем разделе.)

Теперь мы можем наконец положить немного мяса на эти кости и упомянуть интерпретацию численных результатов в терминах вероятностей.  Первое объяснительное предположение квантовой механики состоит в том, что любой полный ортогональный набор состояний;  соответствуют всем возможным результатам типа измерения (того вида, который будет рассмотрен в разделе), и что если система до измерения находилась в состоянии Ψ, вероятность того, что измерение даст результат, связанный с состоянием Φᵢ;  который

 P (Ψ → Φᵢ) = | (Φᵢ, Ψ) | ² / [(Φᵢ, Φᵢ) (Ψ, Ψ)] -3-1-13)

Важно отметить, что вероятности, представленные этой формулой, обладают основными свойствами вероятностей.  Во-первых, он должен быть положительным.  Кроме того, поскольку Φᵢ является полным ортогональным множеством, уравнение (3-1-12) дает

 (Ψ, Ψ) = Σ | (Φᵢ, Ψ) | ² / (Φᵢ, Φᵢ)

 Следовательно, сумма вероятностей (3-1-13) равна единице.

Вероятности (3-1-13) не изменятся, если мы умножим Ψ на константу α или Φᵢ на константу βᵢ.  В квантовой механике векторы состояния, которые отличаются друг от друга постоянным 

параметром, считаются представляющими одно и то же физическое состояние.  (Но ‘αΨ + Ψ и’ Ψ + Ψ обычно не представляют один и тот же случай.) Мы можем, если хотим перемножить векторы состояния Ψ и Φᵢ;  в выбранных константах так, чтобы

 (Ψ, Ψ) = (Φᵢ, Φᵢ) = 1 (3-1-14)

 (для калибровки уравнения состояния)

 В этом случае вероятности (3-1-13)

 P (Ψ → Φᵢ) = | (Φᵢ, Ψ) | ² (3-1-15)

Множество векторов, которые также ортогональны (Φᵢ, Φᵢ) = 1, называются ортонормированными.  Для полного набора калиброванных ортогональных векторов уравнения (3-1-11) и (3-1-12) становятся

 Ψ = Σⱼ (Φⱼ, Ψ) Φⱼ (3-1-16)

 И

 (, Ψ ‘) = Σᵢ (Φᵢ, Ψ) * (Φᵢ,’) (3.1.17)

Даже после выбора Ψ и Φᵢ так, чтобы они удовлетворяли уравнению (3-1-14), т. е. В качестве функций калибровки, мы все равно можем умножать векторы состояния на единичные комплексные числа (то есть фазовые коэффициенты), не изменяя уравнения (3-1-14 ).) или (3-1-15).  Таким образом, физические состояния в квантовой механике находятся во взаимно однозначной симметрии с лучами в гильбертовом пространстве, и каждый луч состоит из набора векторов состояний, стандарт которых равен единице, которые различаются только умножением на фазовые коэффициенты.

Здесь уместно упомянуть обозначение «бюстгальтер», которое использовал Дирак.  В обозначениях Дирака вектор состояния Ψ обозначается как |  Ψ>, также записываемое как скалярное произведение (Φ, Ψ) двух векторов состояния на изображении <Φ |  Ψ>

Символ <Φ |  Он называется бюстгальтер и символ |  Ψ> называется кетом, поэтому <Φ |  Ψ> для скобки или скобки (не путать с совершенно другой скобкой Дирака, описанной в разделах 9-5). Дирак закодирован как |  а>.  В Разделе 3.3 он объясняет, как кодирование Дирака подходит для некоторых целей, а в некоторых случаях неудобно.