Что больше бесконечности?

“Бесконечность — не предел!” — говорил Базз Лайтер из “Истории игрушек”.
Задумывались ли вы когда-нибудь над этой фразой? Возможно, нет. Так что давайте разберемся в понятии бесконечности.

Бесконечность — очень непростое понятие. Оно нам непривычно и в обычной жизни не встречается. Да, мы зачастую “обзываем” бесконечностью большие значения, но на самом деле все они конечны. Мы говорим, что Вселенная бесконечна, но действительно ли она продолжается, продолжается и никогда не заканчивается? У числа пи бесконечное количество цифр после запятой — но действительно ли им нет конца? Что, если Базз был прав? Что, если есть нечто большее?

О бесконечностях лучше всего говорить с математиками. Генри Тоуснер (Henry Towsner), математик из Пенсильванского университета в Филадельфии, уверен, что “большинство людей интуитивно понимают, что такое [бесконечность], но чем больше они о ней думают, тем сильнее запутываются.”

У математиков такой проблемы нет, потому что бесконечность редко используется сама по себе — чаще рассматриваются ее конкретные аспекты.

Например, математики сравнивают их друг с другом, ведь бесконечности бывают разные. Это доказал в конце XIX века немецкий математик Георг Кантор. 

Кантор знал, что натуральные числа — те, что появляются при счете: 1, 2, 8, 39 и 15678 — идут бесконечно, поэтому он назвал их “счетным (бесконечным) множеством”. Группы чисел из счетных множеств — например, все четные 2, 4, 6 и так далее — тоже являются счетными (бесконечными) множествами. И пусть их в два раза меньше, чем всех натуральных чисел, это тот же тип бесконечности.

Другими словами, вы можете каждому четному числу сопоставить натуральное число, и таких пар будет бесконечно много — то есть это бесконечности одинаковой “длины”.

Но самое главное, что Кантор догадался о существовании несчетных множеств. Все вещественные числа — натуральные, дроби и иррациональные вроде числа пи — более “бесконечны”, чем просто натуральные. То есть если вы попытаетесь сопоставить вещественные с натуральными, то вещественных будет гораздо больше, чем натуральных. В конце жизни Кантор, кстати, сошел с ума, но вряд ли причиной стала его работа с бесконечностями.

Так как считать?

Возвращаемся к фразе Базза Лайтера. “Математика заставляет задаться вопросом “Что это означает?” — говорит Тоуснер. — “Как можно продолжать счет за бесконечностью?”

Для этого, говорит Тоуснер, нужно поговорить о порядковых числах (ординалах). В отличие от количественных числительных (кардинальных чисел), которые говорят о количестве объектов в наборе, порядковые определяются по их расположению в наборе. Кстати, их тоже ввел Кантор.

В порядковых числах есть понятие омеги — ω. Это число, которое идет после всех натуральных чисел. Кантор назвал его наименьшим бесконечным ординалом.

Вот только ко всем числам всегда можно прибавить другое число и получить новое. То есть допустимы ω+1, ω+2 и даже ω+ω. (Так вы в итоге уткнетесь в число ω1 — наименьший несчетный ординал.)

По идее, это и есть счет больше бесконечности.

Очень непросто все это осознать на интуитивном уровне. Именно поэтому математики так любят строгие и точные определения. Без них бы они просто запутались.

Как же математики так просто оперируют такими понятиями? “Во многом это просто привычка. Ты нарабатываешь новые интуиции, и когда интуиция сдает, ты говоришь “Вот пошаговое твердое доказательство”. Если результат удивляет, ты всегда можешь перепроверить, и со временем ты привыкаешь к новой идее, нарабатываешь эту новую интуицию,” — говорит Тоуснер.

Кстати, астрофизики с их невообразимо гигантскими объектами и расстояниями тоже говорят, что это просто привычка. (12 крупнейших объектов во Вселенной)
Источник: Live Science


Больше на Granite of science

Подпишитесь, чтобы получать последние записи по электронной почте.

Добавить комментарий

Мысль на тему “Что больше бесконечности?”

Больше на Granite of science

Оформите подписку, чтобы продолжить чтение и получить доступ к полному архиву.

Читать дальше