Интервью со всемирно известным математиком А.Н. Шарковским из Киева

«Порядок Шарковского» — это как теорема Пифагора или бином Ньютона: имя главного специалиста отдела динамических систем и фрактального анализа Института математики НАНУ (Киев) навеки вошло в историю мировой науки. 

Академик Шарковский человек старорежимно скромный, очень добрый и, несмотря на почтенный возраст (в декабре, через неделю, ему исполняется 84 года), просто лучится юмором. При этом хитрейше заворачивает любую тему, не касающуюся непосредственно его научной тематики. Как только заходит про общие вопросы, то моментально «я устал». Никаких философствований – исключено. Никаких од математике. 

«…явления во всей их сложности легко и поразительно получаются из простых уравнений, которые описывают их. Не подозревая о возможностях простых уравнений, люди часто заключают, что для объяснения всей сложности мира требуется нечто данное от Бога, а не просто уравнения». 

Фейнмановские лекции по физике (1966 г.)

— Александр Николаевич, как ни странно, по отзывам знакомых я поняла, что Вы больше известны на Западе, чем в Украине. 

— Скорее всего, дело обстоит именно так. Возможно, причиной этому то, что моя тема – дескриптивная теория динамических систем и детерминированного хаоса – не очень то популярна среди наших учёных. Кафедра топологии, геометрии и динамических систем есть только в университете Шевченко, насколько мне известно. Все мои ученики – среди которых 4 доктора и 14 кандидатов наук – разъехались куда-то по городам и весям… кто в Канаде, кто в США, кто в Европе… Я веду сейчас раз в неделю семинар на кафедре математического анализа в университете Шевченко, но этого, конечно, недостаточно для развития тематики в нашей стране.

Да, в Украине я лауреат премий НАН им. Н.Н. Боголюбова и М.А. Лаврентьева, здесь регулярно издаются мои научные работы. Всего я написал их около 250, сейчас Институт математики издал книгу «Идеальная турбулентность: фрактальные и стохастические аттракторы в идеализированных моделях математической физики» на русском и украинском языках, соавтором которой является моя ученица, доктор физико-математических наук Елена Юрьевна Романенко. 

Две книги переведены на английский язык («Difference equations and their applications» 1993 г. и «Dynamics of one-dimensional map» 1997 г., Kluwer Academic Pub). В берлинском издательстве «Шпрингер», основанном ещё в 1842 году, скоро выйдет моя книжка, которая так и называется: «Порядок Шарковского». Она уже подготовлена к печати. Я написал её в соавторстве с Александром Марковичем Блохом, который учился в Харькове и я был оппонентом его кандидатской, а в начале 90-х он перебрался в Штаты, живёт и работает в алабамском Бирмингеме.

В 2011 году, в Канаде мне вручили Премию Аульбаха Международного общества по разностным уравнениям за выдающийся вклад в теорию разностных уравнений и дискретных динамических систем. Эта премия Аульбаха присуждалась впервые, теперь её вручают каждые два года. В 2014 году мне присудили ученую степень Почетного доктора Силезского университета (Чешская республика).

Я член редколлегий ряда международных математических изданий, в том числе журнала «Бифуркации и хаос», и соредактор журнала «Journal of Difference Equations and Applications» (США). Вот, видите, весь стеллаж туго набит журналами «Бифуркации и хаос», а ведь цена одного экземпляра 120 долларов! Так что в этих шкафах, можно сказать, целое состояние…

— Ещё мне сказали, Александр Николаевич, что именно благодаря Вашим исследованиям «родились» завораживающие картинки фракталов? Сегодня их не видел и ими не восхищался, пожалуй, только слепой. Меня ещё поразило, насколько сложна для понимания Ваша теория — и насколько в зоне популярного интереса находится её следствие – фрактальные изображения…

— А потому что картинки красивые! При этом алгоритм для получения красивых картинок на компьютере очень простой: возьмите простейший полином и в комплексной плоскости итерируйте (повторяйте). Фрактал это что? Всего-навсего самоподобие. А раскрашивание результатов численного счета делает их очень красивыми и позволяет их рассматривать все вглубь и вглубь, все время увеличивая их масштаб бесконечно.

Что касается происхождения «моды на фракталы» непосредственно из моих исследований, то это не совсем так. Да, я занимался множествами, которые позднее стали называтся фракталами, в своей докторской диссертации. Мой оппонент Владимир Игоревич Арнольд, зная, что я занимался такой тематикой, предложил мне организовать и быть редактором перевода книги «Красота фракталов» (The Beauty of Fractals, authors Heinz-Otto Peitgen, Peter Richter).

Итерируя, то есть повторяя, простые формулы, немцы Пайтген и Рихтер получали очень красивые картинки за счёт раскрашивания точек специальным образом подобранными цветами. С выставкой своих напечатанных графических работ они прокатились по Германии, после чего в 1986 году издали альбом «Красота фракталов», наполовину состоящий из научных статей, а наполовину – из тех самых завораживающих изображений. Книгой заинтересовалось российское издательство «Мир» и, поскольку в моей диссертации (1966 г.) использовались фракталы – или то, что потом стало так называться, — меня попросили меня организовать перевод этой книги. И в результате она появилась в 1993 году в Москве, с моим предисловием и добавочной статьёй-теоретическим обоснованием, что такое фракталы. Надо сказать, данное мероприятие увенчалось успехом, тираж быстро разошёлся, вскорости допечатали второе издание. А потом уже «фрактальным творчеством» занялись и другие, кто во что горазд, кому какую формулу интересно итерировать.

При подготовке книги я ездил в гости к Пайтгену и Рихтеру в Бремен. Неверно будет представлять дело так, что между «теорией Шарковского» и их творчеством прямая связь. Они основывались на теории динамических систем. Бенуа Мандельброт ввел понятие фракталов. А американец Джеймс Йорк ввел понятие хаоса в математику. Эти двое даже получили в 2003 году Премию Японии (50 млн йен, или полмиллиона долларов) за «создание универсальных концептов в комплексных системах – хаоса и фракталов». Йорк говорит, что в 1975 году опубликовал свою статью (совместно с Ли) «Период 3 влечёт хаос», не зная про мою работу, которая была, во-первых, на 15 лет раньше, а во-вторых, моя теорема более точная, чем на Западе. Я верю ему.

С Джеймсом Йорком я встречался лично несколько раз, впервые в 1975 году на конференции в Берлине во время совместной прогулки участников конференции по реке Шпрее. Эта встреча упоминается, и даже не в одной публикации. Потом встречался с ним в 1989 году в Миннеаполисе, куда меня пригласил профессор математики Джордж Селл, чтобы я в течение месяца выступал с лекциями в нескольких университетах. Йорк пригласил меня выступить у него на семинаре в университете Мериленд. 

Встреча с ним могла бы состояться и раньше, ещё в 1969 году, когда в Киеве проходила 5-я Международная конференция по нелинейным колебаниям, на которую съехались более 400 гостей, среди них много американцев. Я, к тому времени уже доктор наук, вёл на конференции секцию по качественной теории нелинейных колебаний. Йорк был заявлен на участие в конференции, но лично он не приехал; его доклад был включен в программу конференции и был опубликован в «Трудах конференции», изданных в 3-х огромных книжках. 

Два года назад, в 2018 году, на конференции по топологии и приложениям в Кочи (штат Керала, Индия) состоялась еще одна моя встреча с коллегой.

• 

• 

В 1979 году вышла статья Питера Клоэдена в бюллетене Австралийского математического сообщества (том 29) под названием «Относительно порядка сосуществования циклов Шарковского» — в ней, по-видимому, впервые появились понятия “Sharkovsky ordering” и“Sharkovsky theorem”. В этой статье показано, что этот порядок имеет место не только в одномерных системах, но справедлив для многомерных систем, но специального вида, задаваемых так называемыми треугольными отображениями. 

В 1992 году была опубликована книга профессора математики Бостонского университета Роберта Девани «Первый курс по хаотическим динамическим системам: теория и эксперимент», в которой всё было расписано и приведено как есть – как бы первое знакомство американцев с товарищами, которые имели отношение к динамическим системам. Туда попал не только я, но и Йорк, Мандельброт; там был указан и метеоролог Эдвард Лоренц, который показал, что простейшие уравнения в производных могут генерировать этот хаос – ему же принадлежит и ставшее знаменитой метафора «эффект бабочки».

• 

• 

• 

В 1994 году в Испании состоялась международная конференция «Тридцать лет теореме Шарковского. Новые перспективы» — доклады которой вышли отдельным томом (т.№5 1995г. журнала «Бифуркации и хаос»), а также отдельной книгой в серии Nonlinear Science в издательстве World Scientific.

— Александр Николаевич, самое время рассказать читателям, в чём состоит «теорема Шарковского» и каков «порядок Шарковского». Как думаете, для научно-популярного издания — получится?

— Довольно удачно это получилось у авторов польского сборника «Бриллианты математики», который был даже отмечен наградами за лучшую польскую научно-популярную книжку. Моему открытию была посвящена в нём одна из 17-ти статей. Её остроумно иллюстрировали рисунком, на котором «капрал Шарковский» выстраивает солдат, но не по росту, а в соответствии со своим порядком.

— Какое следующее число идёт в Вашем порядке после единицы? Или какое там, вообще, первое число?

— Видите ли, всё это множество не есть вполне упорядоченным в математическом смысле. В нем есть и первое и последнее число. В моем порядке представлены все числа от 1 до бесконечности, но если начинать с 1 то за ней следуют все степени двойки: 2, 4, 8, 16,… В этом случае система остается еще простой, энтропия ее равна 0, и только тогда, когда появляются циклы, периода отличного от степени 2, тогда энтропия начинает расти, становится положительной и поэтому система становится сложной. Самым простым числом, положим, стоит единичка, а самым сложным, для одномерных систем, является 3. Статья Йорка поэтому и называлась «Период 3 влечёт хаос».

• 

• 

— К сожалению, ничего не понятно.

— Статья Йорка потому всем и понравилась, что она просто написана, но там много неточностей. Например, он не очень корректно определил хаос: что это много траекторий, которые друг друга перегоняют. А всё происходит намного интереснее и сложнее. Бесконечномерный хаос, огромное количество траекторий-нитей, которые, как у человека в, условно скажем, голове, переплетаются – и в результате образуется мыслящая ткань, благодаря которой мы можем соображать.

Динамические системы помогают классифицировать и описать эти сложные процессы, которые имеют место быть в природе. Даже в трёхмерном пространстве их уместить можно.

— Правильно я понимаю, что был порядок натуральных чисел, 1 2 3…, был для статических систем, а «порядок Шарковского» подходит для динамических?

— Так, наверное, тоже можно сказать. Вы учтёте 100 или 1000 параметров, но всё равно не учтёте всё. 

— Александр Николаевич, а в чём прикладное значение Вашего открытия? 

— Хороший пример, что может математика – она описывает движение воздуха. Воздух ассоциируется с непрерывной средой, хотя он состоит из отдельных атомов. Составляются системы уравнений в частных производных (в общем виде они не имеют решения) для непрерывной среды, по этим уравнениям вместе с краевыми условиями (данные с метеостанций) строится модель, точно описывающая передвижение масс в пространстве, строится алгоритм решения, все эти данные вводят для расчетов в вычислительные машины. Получается результат. Сейчас меня очень даже радуют успехи для предсказания погоды, на конечные интервалы времени, например – на 10 дней вперёд.

Биологическая система также использует этот порядок. Если одна живая клетка появилась, то из неё появится именно две клетки за счет клонирования. Они тоже удвоятся (клонируются), появятся четыре клетки, и так далее … Таким образом происходит накопление массы, которое необходимо для рождения нового качества (например, при зарождении человека). Если не наступило время бифуркации, то она снова продолжит удваиваться – а когда им уже надоест слоиться и они поймут, что могут по-другому как-то организовать себя, то появится уже новое качество, трифуркация, топологическая энтропия возрастёт. Зародыш должен сначала накопить массу, удвоение это просто как вращение на месте, и на это не затрачивается энергия. Трифуркация же будет очень дорого стоить системе.

— По крайней мере, понятно, что Ваше счисление описывает реальные процессы. А тот язык, к которому мы привыкли, безнадёжно примитивен. Хорошо, что ученые приблизились к тому, чтобы описывать сами процессы, а не свои представления о них.

— Не знаю не знаю, на философские темы рассуждать это не моё.

— Да уж, с лекциями «ни о чём» не поездишь по университетам Европы, Америки, Китая, Австралии и так далее… А можете рассказать, Александр Николаевич, с чего начинался Ваш славный путь – родители, наверное, увлекались математикой?

— Нет, вовсе нет. Отец работал начальником отдела технического контроля на заводе им. Петровского в Киеве, а родился в городе Стародуб Черниговской губернии. Моя мама из села Белиевка Киевской губернии. Работала сестрой–хозяйкой в Первой областной больнице Киева,одно время намотчицей на заводе, потом библиотекарем. Я родился в Киеве, учился в школе №70 на Лукьяновке, на ту пору она была исключительно мужская. В 1953 году её закончил. Помню, что в 7-м классе хотел стать химиком. Но потом к нам пришла учительница, только закончившая мехмат, и посоветовала мне походить на математические кружки при Киевском университете, проводимые аспирантами и студентами старших курсов. Я стал участвовать в олимпиадах. В первый год участия в олимпиаде, в 8-м классе, получил первую премию среди учеников 7-8 классов г. Киева. И тогда же моя фамилия попала в журнал «Успехи математических наук», издаваемый Академией наук СССР, как победителя Киевской городской олимпиады. В Киевский университет имени Тараса Шевченко прошёл после собеседования с преподавателем мехмата, как серебряный медалист школы. Помню, во время собеседования, преподавателю не понравился мой ответ на простой вопрос. На всю жизнь запомнил его слова: «Приходят эти медалисты, а потом позорят свои школы», на что я не удержался и возразил, сказав, как я могу позорить свою школу, получив 1-ю премию на городской олимпиаде.

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

• 

Профессор Георгий Евгеньевич Шилов, сын академика Украинской академии наук по химии, преподавал у нас на первом курсе высшую алгебру, потом его пригласили в МГУ, в Москву. Именно он предложил мне сделать доклад по теории итераций: что будет, если взять функцию и её итерировать, какие качественные результаты могут получиться. Свойства степенных трёхчленных алгебраических уравнений была темой другого доклада на маткружке. С этим докладом я выступил на научной студенческой конференции в 1954 г.– в общем, так я первокурсником затесался среди студентов старших курсов. 

— Слышала, что для того, чтобы напечатать статью «Сосуществование циклов непрерывного преобразования прямой в себя», в которой впервые появились прославившая Вас теорема и «порядок Шарковского» (а ему было тогда всего 25 лет), типографии даже пришлось отливать новые символы?

— Для статьи в «Украинском математическом журнале» (недавно я проверял – на неё уже более полутора тысяч ссылок!) действительно не нашлось подходящего типографского символа. Тогда их отливали из свинца, поэтому профессия наборщика считалась очень вредной, в заготовку. Нужной мне заготовки не нашлось, и я просто предложил «положить набок» один из латинских символов.   

Черновик статьи я закончил в ноябре 1961 года, сдал в журнал в марте 1962 года, а вышла она только в начале 1964 года. Потому, что доказательство было очень сложным и тополог, которому её отправили, целый год рецензировал мою статью… Получив оттиски напечатанной статьи, я отправился в Москву к Келдыш Людмиле Всеволодовне, старшей сестре президента Академии наук СССР, чтобы проконсультироваться по некоторым вопросам дескриптивной теории множеств. Она была крупным специалистом в области теории функций действительного переменного и теоретико-множественной топологии. Пришёл к ней в Математический институт им. Стеклова прямо с поезда, с утра, и она меня очень даже хорошо приняла. Мы более часа обсуждали, насколько сложным может быть поведение траектории в одномерной динамической системе, даже несмотря на то, что это размерность один: переплетение траекторий является очень сложным. Пришлось привлекать дескриптивную теорию множеств, которой она занималась и по которой написала монографию. 

После беседы с Людмилой Всеволодовной Келдыш, я подготовил статью «О притягивающих и притягивающихся множествах». Статья была отправлена в журнал «Доклады Академии наук СССР». В течение недели её представил в печать Павел Сергеевич Александров, один из создателей дескриптивной теории множеств, тот самый, который первым, в 1916 году, доказал, что множество Кантора имеет мощность континуума. Дальше это уже просто полёт фантазии, можно уже надстраивать, возводить степени до бесконечности…

— Так физики и говорят: «полёт фантазии», математики уже очень оторвались от реальности.

— От реальности – возможно. Это в нашем мире размерность равна трём, а математикам ничего не стоит мыслить о любой размерности! Вспоминается так называемое «дело Лузитании» в 1930-е годы, травля выдающегося математика Николая Лузина – воспитавшего, между прочим, целую плеяду учёных: Андрея Колмогорова, Петра Новикова (мужа Людмилы Келдыш), Павла Александрова – по обвинению в «идеализме, приводящем к кризису основ математики»…Дескать, чересчур абстрактными вещами занимался. Для меня это одного свойства явления, и «лысенковщина» конца 40-х туда же, когда просто уничтожили, по каким-то там своим соображениям «реальности», замечательного генетика Николая Вавилова…

То, что сделал я — это переупорядочил натуральные числа. Показал, что возникает тоже естественно, но другой порядок, который характеризует эволюцию динамических систем от простых к сложным. Простейший способ – это деление пополам, клонирование. Клетки размножаются – так происходит накопление массы, а новое качество уже получается другим способом. 

Мой порядок хоть и называется этим словом, но на самом деле он описывает хаос: каким образом возникают хаотические движения. Человек, с точки зрения математики, это бесконечномерная система, там огромное количество параметров, даже в голове – миллиарды нейронов, и связывающих их дендритов… Траектории их очень сильно перепутываются. С одной стороны, все хаотическое, с другой – должен быть порядок, чтобы получать информацию и управлять огромным количеством клеток в человеке. Так устроен мир, что я могу сказать, всё очень сложно. И хаос появляется уже на довольно низком уровне. 

Порядок указывает на направление усложнения систем, их эволюцию. Есть такое понятие как топологическая энтропия, она характеризует сложность системы.

«Порядок Шарковского» возник в результате исследования одномерных динамических систем.Мой бывший аспирант Василий Бондарчук перенёс то, что я получил для одномерных динамических систем, на любую размерность, но при двух условиях: гладкость и растяжение. Когда динамические системы во все стороны растягивают, удаётся получить то, что не удается получить для обычных систем, в которых есть и растяжение, и сжатие. Удвоение угла на окружности — это простой пример. 

Я больше имел отношение к разностным уравнениям, в которых время является дискретным, а пространство одномерное. Если рассматривать разностные уравнения одной действительной переменной – то для них подходит этот порядок. Он характеризует такой переход динамической системы от простых до самых сложных. В процессе эволюции возникает детерминированный хаос. 

Отображение пространства в себя же происходит в виде точек, и так мы получим траекторию из этих точек. И что? С введением понятия близости у траектории появляется аттрактор, а поскольку аттрактор может притягивать много траекторий, то тогда можно говорить о бассейне этого аттрактора. 

В простейшей системе аттрактор один, как сток в ванной (и всё стекает в эту точку). Но могут быть разные аттракторы, к которым притягиваются разные траектории. Траектории притягиваются часть к одному, а часть к другому. А бассейны разных аттракторов могут очень сильно переплетаться. Бассейны переплетаются, и вот нужен был способ описывать структуру этих бассейнов – так называемая «теория хаоса», основанная на использовании дескриптивной теории множеств. 

Простой пример — удвоение угла на окружности  — является вместе с тем примером самой сложной динамической системы с точки зрения дескриптивной теории множеств.

— Александр Николаевич, сколько знаю «учёных», которые выдыхаются, «выгорают» после первой же диссертации, а Вы – ну с таким увлечением о своей науке рассказываете, что я даже почти всё поняла! Как это у Вас получается?

— Не знаю. Вероятно, потому, что я начинал с самого простого, а потом, по ходу дела приходилось решать всё более сложные задачи. Поэтому интерес не угас.

— А я на конец интервью приберегла как раз самый простой вопрос: для кого работают математики?

— Спросите у Эвклида. Навести порядок, наверное, хотят. Развивать обогащать язык математики, пополнять его понятиями, которые позволяли бы наиболее адекватно описывать явления и процессы, все новые и новые. Математика – это наука и о математических моделях.

Развитие языка математики происходило непрерывно, и их придумки находили очень полезными. Не у вас ли в «Граните» я читал про Торпа, который придумал сложные расчёты, как можно надуть случайную систему, всё-таки используя некую статистику?

Результаты докторской диссертации А.Н. Шарковского, защищённой в 1967 году, составили существенную часть современной топологической динамики и привели к созданию нового направления в теории динамических систем – комбинаторной динамики. Автор трудов по теории динамических систем. Его исследования в теории хаоса, проведенные ещё в 60-х, значительно опередили аналогичные исследования американских математиков.

Создал основы топологической теории одномерных динамических систем, теории, которая на сегодня является одним из инструментов исследования эволюционных задач самой разной природы. Им открыт закон сосуществования периодических траекторий различных периодов; исследована топологическая структура бассейнов притяжения различных множеств; получен ряд критериев простоты и сложности динамических систем. А. Н. Шарковскому принадлежат и фундаментальные результаты теории динамических систем на произвольных топологических пространствах. 

Достижения украинского ученого получили всеобщее признание в международных научных кругах. С его именем связано становление и развитие хаотической динамики. В научной литературе можно встретить такие термины как теорема Шарковского, порядок Шарковского, пространство Шарковского, стратификация Шарковского и др. С теоремой Шарковского связывают начало нового направления в теории динамических систем — комбинаторной динамики. 

Исследования, проведенные А. Н. Шарковским, позволили ему предложить концепцию «идеальной турбулентности» — нового математического явления в детерминированных системах, которое моделирует во времени и пространстве сложнейшие свойства турбулентности, а именно: процессы образования когерентных структур убывающих масштабов и рождения случайных состояний. 

Научную работу учёный всегда активно совмещал с педагогической, с середины 60-х годов читая общие курсы и лекции по теории динамических систем на механико-математическом факультете Киевского университета и регулярно принимая приглашения от университетов США, Европы, Индии, Китая и Австралии. В общей сложности учёный посетил более 20 стран, много энергии и времени вкладывая в укрепление научных связей с выдающимися коллегами во всём мире.