Симметрия и фракталы: красота и гармония

Кандидат физико-математических наук, доцент факультета информационных технологий Киевского национального университета им. Т.Г. Шевченко Cергей Доценко читает курсы по дискретной математике и компьютерному моделированию физических процессов. В своём докладе о симметрии и её частном и крайне своеобразном случае – фракталах – он ставил целью показать красоту математики. Как сказал Бенуа Мандельброт, который предложил и разработал математическое описание фракталов: «Математики пишут формулы, я же всю жизнь рассматривал картинки». Также читайте по данной теме интервью «Гранита науки» с киевским математиком А.Н. Шарковским.

Симметрия (греч. «одинаковая мера») бывает центральной, зеркальной и осевой. Тело симметрично лишь внешне, и то – лишь на полотнах искусства: лица изображают симметричными, что придаёт им красоту. В реальности же лицо человека не более симметрично, чем его внутренности, где сердце царствует над левой половиной, а печень – над правой.

Примерами цилиндрической симметрии, или симметрии вращения, являются детали, выточенные на токарном станке, или вылепленные на гончарном круге: при повороте вокруг оси вращении фигура переходит сама в себя. Необходимость цилиндрической симметрии ракет и воздушных шаров обусловлена аэродинамикой.

Сферическая симметрия – это когда фигура переходит сама в себя при вращении на любой угол в любой плоскости. Таковой симметрией обладает капля жидкости в невесомости. Некоторые простейшие микроорганизмы, например вольвокс, имеют не сферическую форму, но образуют удивительные сферические колонии.

Поворотная симметрия (при которой объект совмещается сам с собой при повороте на угол 360 градусов/n, где n это целое число ≥ 2) наблюдается в природе у медуз, морских звёзд, у кактусов. Интересно, что рёбра кактуса являются не только резервуарами воды, но также и тентами, отбрасывающими тень – в результате ни одна часть кактуса не попадает под прямые лучи солнца надолго.

Ещё один интересный момент, касающийся растений, состоит в том, что центр симметрии у них указывает насекомым на место опыления. Орхидея, например, при виде сверху имеет осевую, а тюльпан – центральную симметрию.

Поворотная симметрия, но без зеркальной, наблюдается у мельниц, вентиляторов, пропеллеров самолётов: их лопасти искривлены в одну сторону, что обеспечивает вращение под действием ветра.

В правильных многогранниках присутствует эффект пространственной симметрии всех видов. Их ещё называют «платоновы тела». Это название сложилось исторически, хотя задолго для Платона правильные многогранники изучал Пифагор, называя их «идеальными телами».

Часть, подобная целому – так называемый фрактал — это частный и весьма своеобразный случай симметрии: часть является уменьшенной копией целого. Основная идея состоит в том, что когда вы приближаете фрактальный объект к себе, он продолжает выглядеть по-прежнему.

«Во всей математике гладкость – вот что было главным. Я же предложил изучать неровности и шероховатости. Математика описывает гладкий мир, описанный человеком. А шероховатый мир, созданный природой, оказался за пределами нашей математики», — говорил французский и американский математик Бенуа Мандельброт (1924-2010), которого во всём мире считают основоположником теории фракталов.

С 1958 года он работал в исследовательском центре IBM. Одной из проблем при создании персональных компьютеров было подавление шумов в проводах. Учёный заметил, что графики шумов за день, час и даже секунду идентичны, и это его открытие послужило ключом к решению проблемы. Впоследствии такие шумы, которые имеют фрактальную структуру, получили название «белый шум».

В рамках своих экономических исследований Мандельброт занялся изучением статистики цен на хлопок. Он обнаружил похожесть кратковременных колебаний и колебаний на длительных интервалах времени (более 100 лет). Это открытие математика оказалось крайне неожиданным для экономистов.

Создателем и отцом науки кибернетика по праву считается американский математик Норберт Винер (1894-1964), именем которого назван стохастический фрактал.

А вот исследования шведа Нильса Фабиана Хельге фон Коха привели к рождению «математического уродца», которым стали мерить береговую линию государств. В статье 1904 года «Об одной непрерывной кривой, не имеющей касательных…» (фр. Sur une courbe continue sans tangente, obtenue par une construction géométrique élémentaire) он впервые описал кривуюКоха — один из самых ранних и самых известных примеров фрактала. Строят такие кривые путем бесконечного повторения простой операции. Линия делится на равные отрезки, и на каждом делается изгиб в виде треугольника (метод фон Кох) или квадрата (метод Германа Минковского). Затем на всех сторонах получившейся фигуры в свою очередь выгибаются аналогичные квадраты или треугольники, но уже меньшего размера. Продолжая построение до бесконечности, можно получить кривую, «сломанную» в каждой точке.

Благодаря кривой Коха появились «фрактальные антенны» Натана Коэна. Этот преподаватель Бостонского университета был настолько упёртым радиолюбителем, что, когда полиция явилась к нему с требованием убрать громоздкую антенну, которую он держал на крыше и которая портила вид города, не отступился. Удовлетворив требования копов, он вырезал из фольги«снежинку Коха», наклеил на лист бумаги, присоединил к приёмнику – и с изумлением обнаружил, что работает она не хуже обычных антенн! Коэн запатентовал своё экспериментальное изобретение, которое и по сей день толком никто не может объяснить, но именно его антенны спрятаны в наши современные мобильные телефоны.

Ковёр Серпинского (квадрат Серпинского) — предложенный польским математиком Вацлавом Серпинским в 1916 г. фрактал, один из двумерных аналогов канторовского множества исключенных средних третей. Сам термин ковер (gasket) принадлежит Мандельброту, а основой для фигуры также послужила кривая Коха.

Строится ковер Серпинского следующим образом. Вначале берётся квадрат со стороной равной единице, затем каждая сторона квадрата делится на три равные части, а весь квадрат, соответственно, на девять одинаковых квадратиков. Из полученной фигуры вырезается центральный квадрат. Затем такой же процедуре подвергается каждый из 8 оставшихся квадратиков и т. д.

Геометрический фрактал «губка Менгера» — один из трёхмерных аналогов ковра Серпинского (собственно, ортогональные проекции губки Менгера и представляют собой ковёр Серпинского). Она состоит из 20 одинаковых частей, коэффициент подобия 1/3. Строится этот куб просто: каждую грань делим на 9 частей и центральную вырезаем, и так далее. Интересно, что в одном из сечений губки Менгера таится… звезда Давида!

Объём таких фигур, как пирамида Серпинского или губка Менгера, конечен, а общая площадь поверхности — наоборот, стремится к бесконечности.

Активированный уголь – природный фрактал, используемый как фильтр в технике и медицине, потому что у него много мелких пор.

Писатель Карел Чапек, побывав в Музее кристаллов в Праге, записал: «Есть кристаллы огромные, как колоннада храма; нежные, как плесень; острые, как шипы; чистые, лазурные, зелёные; как ничто другое в мире, огненные, чёрные; математически точные совершенные; похожие на конструкции сумасбродных учёных… Чтобы быть равным природе, надо быть точным математически и геометрически». Но кажимую неисчерпаемость опроверг Аксель Гадолин, финляндский учёный в области артиллерийского вооружения, механической обработки металлов, минералогии и кристаллографии, генерал от артиллерии, заслуженный профессор Михайловской артиллерийской академии, доктор минералогии, член многих русских и иностранных учёных обществ.

Другим частным случаем симметрии является хиральность. В применении к химии мы могли бы сказать, что этот термин разграничивает «живую» и «мёртвую воду» из сказок – в реальной фармацевтической практике.