Фрактальная геометрия: полезная красота

Фрактальная геометрия: полезная красота 1

«Облака — это не сферы, горы — не конусы, береговые линии — не круги, кора не гладкая, и молнии не движутся по прямой», — говорил Бенуа Мандельброт. Вашему вниманию – статья Эдиты Патрзалек из Института Стэна Акерманса (Центр взаимодействия пользователей с системой) Технологического университета Эйндховена (Нидерланды).

Фракталы — это новый раздел математики и искусства. Возможно, именно поэтому большинство людей распознают фракталы только как красивые картинки, которые можно использовать в качестве фона на экране компьютера или оригинальных рисунков открыток. Но что они на самом деле?

Большинство физических систем природы и многие человеческие артефакты не являются правильными геометрическими формами стандартной геометрии, полученной от Евклида. Фрактальная геометрия предлагает практически неограниченные способы описания, измерения и предсказания этих природных явлений. Но можно ли определить весь мир с помощью математических уравнений?

В этой статье описывается, как были созданы четыре самых известных фрактала, и объясняются наиболее важные фрактальные свойства, которые делают фракталы полезными для различных областей науки.

Многие люди очарованы красивыми изображениями, которые называются фракталами. Выходя за рамки типичного восприятия математики как совокупности сложных, скучных формул, фрактальная геометрия смешивает искусство с математикой, чтобы продемонстрировать, что уравнения — это больше, чем просто набор чисел. Что делает фракталы еще более интересными, так это то, что они являются лучшим из существующих математических описаний многих природных форм, таких как береговая линия, горы или части живых организмов.

Хотя фрактальная геометрия тесно связана с компьютерными технологиями, некоторые люди работали с фракталами задолго до изобретения компьютеров. Эти люди были британскими картографами, которые столкнулись с проблемой измерения длины побережья Великобритании. Береговая линия, измеренная на крупномасштабной карте, составляла примерно половину длины береговой линии, измеренной на подробной карте. Чем ближе они смотрели, тем детальнее и длиннее становилась береговая линия. Они не осознавали, что открыли одно из основных свойств фракталов.

Свойства фракталов

Двумя наиболее важными свойствами фракталов являются самоподобие и нецелочисленная размерность.

Что означает самоподобие? Если вы внимательно посмотрите на лист папоротника, то заметите, что каждый маленький лист — часть большего — имеет ту же форму, что и весь лист папоротника. Можно сказать, что лист папоротника самоподобный. То же самое и с фракталами: вы можете многократно увеличивать их, и после каждого шага будете видеть ту же форму, которая характерна для этого конкретного фрактала.

Нецелочисленное измерение труднее объяснить. Классическая геометрия имеет дело с объектами целочисленных размеров: точками нулевого измерения, одномерными линиями и кривыми, двумерными плоскими фигурами, такими как квадраты и круги, и трехмерными твердыми телами, такими как кубы и сферы. Однако многие природные явления лучше описывать с помощью измерения между двумя целыми числами. Таким образом, хотя прямая линия имеет размерность 1, фрактальная кривая будет иметь размерность от 1 до 2, в зависимости от того, сколько места она занимает при изгибе. Чем больше плоский фрактал заполняет плоскость, тем ближе он приближается к двум измерениям. Точно так же «холмистая фрактальная сцена» достигнет измерения где-то между 2 и 3. Таким образом, фрактальный пейзаж, состоящий из большого холма, покрытого крошечными насыпями, будет близок ко второму измерению, в то время как шероховатая поверхность, состоящая из множества холмов среднего размера, будет близка к третьему измерению.

Есть много разных типов фракталов. В этой статье я представлю два самых популярных типа: фракталы комплексных чисел и фракталы системы итерационных функций (IFS).

Фракталы комплексных чисел

Прежде чем описывать этот тип фракталов, я кратко объясню теорию комплексных чисел.

Комплексное число состоит из действительного числа, добавленного к мнимому числу. Комплексное число принято называть «точкой» на комплексной плоскости. Если комплексное число равно Фрактальная геометрия: полезная красота 2, то координаты точки: a (по горизонтали — действительная ось) и b (по вертикали — мнимая ось). Единица мнимых чисел Фрактальная геометрия: полезная красота 3

Двумя ведущими исследователями в области фракталов комплексных чисел являются Гастон Морис Жюлиа и Бенуа Мандельброт.

Гастон Морис Жюлиа родился в конце 19 века в Алжире. Он всю жизнь изучал итерацию многочленов и рациональных функций. Примерно в 1920-х годах, опубликовав свою статью об итерации рациональной функции, Жюлиа прославился. Однако после его смерти о нем забыли.

В 1970-х годах творчество Гастона Мориса Жюлиа возродил и популяризировал уроженец Польши Бенуа Мандельброт. Вдохновленный работой Жюлиа и с помощью компьютерной графики сотрудник IBM Мандельброт смог показать первые изображения самых красивых фракталов, известных сегодня.

Множество Мандельброта

Чтобы построить множество Мандельброта (множество точек на сложной плоскости), мы должны использовать алгоритм, основанный на рекурсивной формуле, разделяя точки сложной плоскости на две категории: точки внутри множества Мандельброта и точки вне множества Мандельброта.

На изображении ниже показана часть комплексной плоскости. Точки множества Мандельброта окрашены в черный цвет.

Фрактальная геометрия: полезная красота 4

Также возможно присвоить цвет точкам вне множества Мандельброта. Их цвета зависят от того, сколько итераций потребовалось, чтобы определить, что они находятся за пределами множества Мандельброта.

Фрактальная геометрия: полезная красота 5

Как создается множество Мандельброта? Для того, чтобы его создать, мы должны указать точку (C) на комплексной плоскости. Комплексное число, соответствующее этой точке, имеет вид Фрактальная геометрия: полезная красота 6. После вычисления значения предыдущего выражения Z1=Z02+C, используя ноль в качестве значения Z0, мы получаем в результате C. Следующий шаг состоит из присвоения результата Z1 и повторения вычисления: теперь результатом является комплексное число C2+C. Затем мы должны присвоить значение Z2 и повторять процесс снова и снова.

Этот процесс можно представить как «перемещение» начальной точки C по плоскости. Что происходит с точкой, когда мы многократно повторяем функцию? Останется ли он рядом с началом координат или будет уходить от него, неограниченно увеличивая свое расстояние от начала координат? В первом случае мы говорим, что C принадлежит множеству Мандельброта (это одна из черных точек на изображении); в противном случае мы говорим, что он уходит в бесконечность, и назначаем цвет C в зависимости от скорости, с которой точка «убегает» из начала координат.

Мы можем взглянуть на алгоритм с другой точки зрения. Представим себе, что все точки на плоскости притягиваются как бесконечностью, так и множеством Мандельброта. Это позволяет легко понять, почему:

  • точки, далекие от множества Мандельброта, стремительно движутся к бесконечности,
  • точки, близкие к множеству Мандельброта, медленно уходят в бесконечность,
  • точки внутри множества Мандельброта никогда не уходят в бесконечность.

Множества Жюлиа

Множества Жюлиа строго связаны с множеством Мандельброта. Итерационная функция, которая используется для их создания, такая же, как и для множества Мандельброта. Единственная разница в том, как используется эта формула. Чтобы нарисовать картину множества Мандельброта, мы повторяем формулу для каждой точки C комплексной плоскости, всегда начиная с Z0=0. Если мы хотим создать картину множества Жюлиа, C должно быть постоянным в течение всего процесса генерации, а значение Z0 варьируется. Значение C определяет форму множества Жюлиа; другими словами, каждая точка комплексной плоскости связана с определенным множеством Жюлиа.

Как создаётся множество Жюлиа?

Мы должны выбрать точку C) на комплексной плоскости. Следующий алгоритм определяет, принадлежит ли точка на комплексной плоскости Z) к набору Жюлиа, связанному с C, и определяет цвет, который должен быть ей назначен. Чтобы узнать, принадлежит ли Z набору, мы должны выполнить итерацию функции Z1=Z02+C, используя Z0=Z. Что происходит с начальной точкой Z при повторении формулы? Останется ли он рядом с началом координат или будет уходить от него, неограниченно увеличивая свое расстояние от начала координат? В первом случае он принадлежит множеству Жюлиа; в противном случае он уходит в бесконечность, и мы назначаем цвет Z в зависимости от скорости, с которой точка «убегает» из начала координат. Чтобы создать изображение всего множества Julia, связанного с C, мы должны повторить этот процесс для всех точек Z, координаты которых входят в этот диапазон: Фрактальная геометрия: полезная красота 7

Самая важная взаимосвязь между множествами Жюлиа и множеством Мандельброта состоит в том, что в то время, как множество Мандельброта связано (это единая часть), множество Жюлиа связано, только если оно связано с точкой внутри множества Мандельброта. Например: множество Жюлиа, связанное c C1, соединено; множество Julia, связанное c C1, не соединено (см. рисунок ниже).

Фрактальная геометрия: полезная красота 8

Итерированные функциональные системные фракталы

Фракталы Iterated Function System (IFS) создаются на основе простых преобразований плоскости: масштабирования, смещения и вращения осей плоскости. Создание фрактала IFS состоит из следующих шагов:

1. определение набора преобразований плоскости,

2. нанесение на плоскости исходного рисунка (любого рисунка),

3. преобразование исходного шаблона с использованием преобразований, определенных на первом шаге,

4. преобразование нового изображения (комбинация исходного и преобразованного паттернов) с использованием того же набора преобразований,

5. повторение четвертого шага как можно больше раз (теоретически эту процедуру можно повторять бесконечное количество раз).

Самые известные фракталы ISF — это Треугольник Серпинского и Снежинка Коха.

Треугольник Серпинского — это фрактал, который мы можем получить, взяв середины каждой стороны равностороннего треугольника и соединив их. Итерации следует повторять бесконечное количество раз. На рисунках ниже представлены четыре начальных этапа построения Треугольника Серпинского:

Фрактальная геометрия: полезная красота 9

На примере этого фрактала мы можем доказать, что фрактальная размерность не является целым числом.

Прежде всего, мы должны выяснить, как ведет себя «размер» объекта при увеличении его линейного размера.

В одном измерении мы можем рассматривать отрезок линии. Если линейный размер отрезка линии удвоится, то длина (характерный размер) линии также удвоится. В двух измерениях, если линейные размеры квадрата, например, удваиваются, то характерный размер, площадь, увеличивается в 4 раза. В трех измерениях, если линейный размер коробки удваивается, объем увеличивается в 8 раз.

Фрактальная геометрия: полезная красота 10

Эту взаимосвязь между размером D, линейным масштабированием L и результатом увеличения размера S можно обобщить и записать как:

Фрактальная геометрия: полезная красота 11

Преобразование этой формулы дает выражение для измерения в зависимости от того, как размер изменяется в зависимости от линейного масштабирования:

В приведенных выше примерах значение D является целым числом — 1, 2 или 3 — в зависимости от размера геометрии. Это соотношение справедливо для всех евклидовых форм. А как насчет фракталов?

Глядя на изображение первого шага построения треугольника Серпинского, мы можем заметить, что если линейный размер базисного треугольника (L) удвоится, то площадь всего фрактала (синие треугольники) увеличится в три раза (S).

Фрактальная геометрия: полезная красота 12

Используя шаблон, приведенный выше, мы можем вычислить размер треугольника Серпинского.

Результат этого расчета доказывает нецелую фрактальную размерность.

Снежинка Коха

Чтобы построить Снежинку Коха, мы должны начать с равностороннего треугольника со сторонами длиной, например, 1. В середине каждой стороны мы добавим новый треугольник размером в одну треть; и повторяем этот процесс бесконечное количество итераций. Длина границы — бесконечность. Однако площадь остается меньше, чем площадь круга, нарисованного вокруг исходного треугольника. Это означает, что бесконечно длинная линия окружает конечную площадь. Конечная конструкция Снежинки Коха напоминает береговую линию берега.

Четыре этапа построения Снежинки Коха:

Фрактальная геометрия: полезная красота 13

Применение фракталов

Фрактальная геометрия проникла во многие области науки, такие как астрофизика, биологические науки, и стала одним из важнейших методов компьютерной графики.

Фракталы в астрофизике

Никто на самом деле не знает, сколько звезд на самом деле сияет в нашем небе, но задумывались ли вы, как они образовались и в конечном итоге нашли свой дом во Вселенной? Астрофизики считают, что ключом к решению этой проблемы является фрактальная природа межзвездного газа. Распределение фракталов является иерархическим, как следы дыма или вздымающиеся облака в небе. Турбулентность формирует как облака в небе, так и облака в космосе, придавая им нерегулярный, но повторяющийся узор, который невозможно было бы описать без помощи фрактальной геометрии.

Фракталы в биологических науках

Биологи традиционно моделируют природу, используя евклидовы представления природных объектов или рядов. Они представляли сердцебиение в виде синусоид, хвойные деревья — в виде шишек, среды обитания животных — в виде простых участков, а клеточные мембраны — в виде кривых или простых поверхностей. Однако ученые пришли к выводу, что многие природные конструкции лучше охарактеризовать с помощью фрактальной геометрии. Биологические системы и процессы обычно характеризуются множеством уровней субструктуры с одним и тем же общим паттерном, повторяющимся в постоянно убывающем каскаде.

Ученые обнаружили, что основная архитектура хромосомы древовидная; каждая хромосома состоит из множества «мини-хромосом» и поэтому может рассматриваться как фрактальная. Например, для хромосомы человека фрактальная размерность D равна 2,34 (между плоскостью и пространственным измерением).

Самоподобие было обнаружено также в последовательностях ДНК. По мнению некоторых биологов, фрактальные свойства ДНК могут быть использованы для разрешения эволюционных отношений у животных.

Возможно, в будущем биологи будут использовать фрактальную геометрию для создания всеобъемлющих моделей закономерностей и процессов, наблюдаемых в природе.

Фракталы в компьютерной графике

В повседневной жизни фракталы чаще всего используются в компьютерных науках. Многие схемы сжатия изображений используют фрактальные алгоритмы для сжатия файлов компьютерной графики до менее четверти их исходного размера.

Художники компьютерной графики используют множество фрактальных форм для создания текстурированных пейзажей и других замысловатых моделей.

Возможно создание всевозможных реалистичных «фрактальных подделок» изображений природных сцен, таких как лунные пейзажи, горные хребты и береговые линии. Мы можем видеть их во многих спецэффектах в голливудских фильмах, а также в телевизионной рекламе. «Эффект генезиса» в фильме «Звездный путь II — Гнев Хана» был создан с использованием алгоритмов фрактального ландшафта, а в «Возвращении джедая» фракталы использовались для создания географии луны и рисования контура луны. страшная «Звезда Смерти». Но фрактальные сигналы также можно использовать для моделирования природных объектов, что позволяет нам математически определять окружающую среду с более высокой точностью, чем когда-либо прежде.

Выводы

Многие ученые обнаружили, что фрактальная геометрия — мощный инструмент для раскрытия секретов самых разных систем и решения важных задач прикладной науки. Список известных физических фрактальных систем обширен и быстро растет.

Фракталы улучшили нашу точность описания и классификации «случайных» или органических объектов, но, возможно, они не идеальны. Может, они просто ближе к нашему естественному миру, а не именно такие, как он. Некоторые ученые до сих пор верят, что истинная случайность действительно существует, и никакое математическое уравнение никогда не сможет полностью ее описать. Пока невозможно сказать, кто прав, а кто ошибается.

Возможно, для многих фракталы никогда не будут представлять собой ничего, кроме красивых картинок.

Источник

Читайте также: «Бенуа Мандельброт. Один из тех, кто открыл мир заново»

Добавить комментарий