Парадокс колеса Аристотеля

В книге «Механика», автором которой считают Аристотеля, мы встречаем такой парадокс.

Вот два жестко соединённых колеса, одно внутри другого, с общей осью. Большее колесо катится без проскальзывания. За полный оборот оно проходит путь, равный длине его окружности. Но ведь и меньшее колесо в то же самое время проходит тот же путь! Не значит ли это, что у него такой же радиус?

Конечно же нет, мы своими глазами видим, что радиусы колес разные. Дело в другом – в проскальзывании. Геометрически это объяснил еще Галилей в книге «Беседы и математические доказательства, касающиеся двух новых отраслей науки, относящихся к механике и местному движению.»

Эта книга не так знаменита, как «Диалоги о двух главнейших системах мира — Птолемеевой и Коперниковой», ведь за диалоги Галилея и осудили. А вот беседы с научной точки зрения гораздо глубже. Анализа тогда еще не существовала, поэтому Галилей поступил удивительно: рассмотрел не круглое колесо, а шестиугольное. На картинке вверху показано, как оно перекатывается.

Как катится большой шестиугольник

Сначала колесо опирается на сторону AB, она «лежит на земле». На первом шаге колесо перекатывается через точку B, после этого на землю опирается сторона BC, она занимает отрезок BQ. Затем колесо перекатится через точку Q, и на земле окажется сторона CD, занимая отрезок QX. И так далее. За шесть шагов отрезок AS последовательно займут стороны большого колеса. Это значит, что его периметр равен длине отрезка AS.

Что в это время происходит с меньшим шестиугольником

Сначала его нижняя сторона HI лежит на прямой HT, параллельной AS. На первом шаге маленький шестиугольник вместе с большим поворачивается вокруг точки B. При этом точка I переходит в O, точка K – в P. То есть сторона IK не переходит в IO, а перепрыгивает сразу в OP.

После второго шага сторона KL попадает в отрезок YZ, и так далее. Хорошо видно, что отрезок HT не полностью закрывается сторонами меньшего шестиугольника – остаются пропущенные кусочки вроде IO и PY. Во время качения меньший шестиугольник не пробегает весь путь HT.

Галилей дальше обобщает, призывая нас представить вместо шестиугольников бесконечноугольники и круги:

Путь, пройденный большим кругом, состоит из бесконечного числа точек, которые полностью его заполняют; в то время как след, оставленный меньшим кругом, состоит из бесконечного числа точек, которые оставляют пустые места и только частично заполняют прямую.

Это и значит, что меньшее колесо не только катится вдоль своего пути, но еще и скользит вдоль него. По современным представлениям между точками окружности меньшей окружности и точками отрезка CE можно установить взаимно однозначное соответствие, но это совсем не означает, что их длины равны.

Этот принцип объясняет, как поезда поворачивают на рельсах. Форма колеса конусообразная, и левое и правое колеса могут пробегать разный путь за одно и то же время.