Чтобы дать ответ на этот вопрос, нужно коротко обратится к методике масштабирования. В общем виде эта методика была формализована в начале ХХ в., когда выдающийся специалист по математической физике лорд Рэлей опубликовал в журнале Nature важную статью под названием «Принцип подобия» (Lord Rayleigh. The Principle of Similitude // Nature. 1915. 95. P. 66–68).
Этим термином он обозначал то, что мы называем теорией масштабирования. Главным образом он подчеркивал ту важнейшую роль, которую играют в любой физической системе особые величины, обладающие свойством безразмерности. Речь идет о сочетаниях переменных, подобных числу Фруда, значение которых остается неизменным независимо от используемой системы единиц измерения. Позвольте мне рассказать о них поподробнее.
Большинство величин, которые мы привыкли измерять в повседневной жизни, – например, расстояние, время или давление – зависит от того, в каких единицах их измеряют: например, в метрах, секундах, паскалях и так далее. Однако одну и ту же величину можно измерить в разных единицах: например, расстояние от Нью-Йорка до Лос-Анджелеса равно 3210 милям, но его же можно выразить в виде 5871 км. Эти разные числа выражают одно и то же. Точно так же расстояние от Лондона до Манчестера можно выразить в виде 278 миль или 456 км. Однако отношение расстояний между Нью-Йорком и Лос-Анджелесом и между Лондоном и Манчестером (будь то 3210 миль / 278 миль или 5871 км / 456 км) остается неизменным (и равным 14,89) независимо от того, какие используются единицы измерения.
Это дает нам простейший пример безразмерной величины: это «чистое» число, не изменяющееся, когда для его измерения используется другая система единиц. Такая масштабная инвариантность отражает некое абсолютное качество тех величин, которые представляют такие числа: они не зависят от произвольно выбранных человеком единиц и методов измерения. Конкретные единицы измерения придуманы человеком для удобства выражения мер стандартизованным языком, в особенности когда речь идет о строительстве, торговле и обмене товарами и услугами. Более того, введение стандартизованных мер отмечает важнейший этап развития цивилизации и возникновения городов, так как они были абсолютно необходимы для создания надежной политической системы, подчиняющейся верховенству законов.
Вероятно, самое знаменитое безразмерное число – это число пи (π), отношение длины окружности к ее диаметру. Оно не имеет размерности, потому что это отношение двух длин, и имеет одно и то же значение для всех окружностей, где бы и когда бы они ни существовали, какими бы большими или малыми они ни были. Поэтому в нем воплощается универсальное качество «круглости».
Именно в связи с концепцией «универсальности» в определение числа Фруда было включено гравитационное ускорение, хотя оно и не играет явной роли в масштабировании модели корабля до его реальных размеров. Оказывается, что отношение квадрата скорости к длине не безразмерно и, следовательно, зависит от используемых единиц измерения. Разделив его на ускорение свободного падения, его можно сделать безразмерным и, таким образом, мас- штабно-инвариантным.
Но почему было выбрано именно гравитационное, а не какое-нибудь другое ускорение? Потому что гравитация влияет на любое движение повсюду на Земле. Это явно чувствуется, когда мы идем или бежим и вынуждены постоянно бороться с гравитацией, поднимая ногу при каждом следующем шаге, – особенно если дорога идет в гору. Ее влияние на движение кораблей не столь очевидно, поскольку силу тяжести уравновешивает выталкивающая сила воды (вспомним закон Архимеда). Однако, когда судно движется в воде, оно постоянно создает кильватерный след и поверхностные волны, поведение которых определяется воздействием гравитации. Собственно говоря, техническое название знакомых нам волн на поверхности морей и озер – гравитационные волны. Поэтому гравитация играет, хоть и не напрямую, важ- ную роль в движении кораблей. Таким образом, число Фруда олицетворяет «универсальное» качество, присущее любому движению на Земле, независимо от конкретных особенностей объ- екта, совершающего это движение. Поэтому его значение определяет характеристики движения не только кораблей, но и автомобилей, самолетов и нас самих. Более того, по нему можно определить, как именно движение на других планетах, на которых действует отличная от зем- ной сила тяжести, отличается от аналогичного движения на Земле.
Поскольку сущность любой измеримой величины не может зависеть от произвольного выбора единиц измерения, сделанного человеком, не могут от него зависеть и законы физики. Следовательно, все они – и вообще все научные законы – должны быть выражаемы в виде соот- ношений между масштабно-инвариантными безразмерными величинами, даже если обычно мы записываем их в другой форме для собственного удобства. В этом состоял основной посыл эпохальной статьи Рэлея.
В его работе приводятся изящные иллюстрации применения этой методики на многочисленных, тщательно подобранных примерах, в том числе и научное объяснение одной из величайших загадок жизни, о которой в тот или иной момент задумывался каждый из нас:
Почему небо синее?
Используя изящное рассуждение, основывающееся исключительно на без- размерных величинах, Рэлей показывает, что интенсивность рассеяния световых волн на мелких частицах должна спадать пропорционально четвертой степени длины волны. Поэтому, когда солнечный свет, представляющий собой сочетание всех цветов радуги, рассеивается на микроскопических частицах, взвешенных в атмосфере, наиболее интенсивным оказывается свет с самой короткой длиной волны, то есть синий.
Собственно говоря, Рэлей вывел этот потрясающий результат гораздо раньше, в блестящей работе, основанной на мастерском математическом анализе этой задачи, давшем подробное механистическое объяснение происхождения сдвига к синему краю спектра. Он привел простой вывод этого решения в статье, посвященной подобию, чтобы продемонстрировать, что тот же самый результат можно было получить, по его словам, «всего за несколько минут размышлений» и без применения подробных и замысловатых математических построений, если использовать логику масштабирования, которую он называет «великим принципом подобия». Его рассуждение о масштабировании показывает, что сдвиг в сторону коротких волн является неизбежным результатом любого анализа, проведенного с правильным выбором существенных переменных. Чего в этом выводе недостает, так это более глубокого понимания того механизма, который обеспечивает получение результата. Это характерно для многих рассуждений, касающихся масштабирования: в них можно получить общие результаты, но подробности причин их возникновения иногда остаются неясными.
Проведенный Рэлеем математический анализ рассеяния волн заложил основы так называемой теории рассеяния. Ее приложения ко многим задачам, от волн в воде до волн электромагнитных, в особенности радиолокационных, а в более недавнее время – в области компьютерной связи, имели чрезвычайно большое значение, но не менее важной была и роль, которую она сыграла в развитии квантовой механики. Именно на основе этой теории был построен аппарат, позволяющий извлекать информацию из «экспериментов по рассеянию», которые проводятся на крупных ускорителях элементарных частиц, например в Европейском центре ядерных исследований (CERN) в Женеве, в котором недавно был открыт знаменитый бозон Хиггса.
Если посмотреть на исходную статью, которую он опубликовал в 1870 г., в возрасте всего двадцати восьми лет, можно увидеть, что имя ее автора – вовсе не лорд Рэлей. Тогда он носил гораздо более прозаическое имя Джона Стретта, больше подходящее персонажу из романа Томаса Харди, чем заслуженному профессору физики из Кембриджа. Так звали Рэлея до того, как в 1873 г. он унаследовал свой титул от отца; после этого он и стал называться лорд Рэлей. Фамилия Стретт более всего известна общественности по его младшему брату Эдварду, основавшему знаменитую фирму по торговле недвижимостью под названием Strutt & Parker: сейчас эта компания является одним из крупнейших коллективных собственников недвижимости в Великобритании. В следующий раз, когда будете в Лондоне, обратите внимание на ее фирменные знаки на дорогих зданиях в центре города.
Рэлей был замечательным ученым-универсалом. В число множества его великих достижений входят разработка теории звука и открытие аргона, за которое он получил в 1904 г. одну из первых в истории Нобелевских премий (точнее говоря, четвертую).
Д. Уэст. «Масштаб. Универсальные законы роста, инноваций, устойчивости и темпов жизни организмов, городов, экономических систем и компаний»
Подписывайтесь на наш Телеграм — канал
