Сделаны ли мы из математики?

В физике много математики; но в чем разница между математикой, которую мы используем для описания природы, и самой природой? Есть ли разница? А может быть, это одно и то же, и все — математика? Об этом рассуждает физик-теоретик из Франкфуртского института углублённых исследований Сабина Хоссенфельдер в своем блоге «Обратная реакция».

В комментариях к моему видео о комплексных числах я заметила, что многие люди говорили, что числа не настоящие. Но, конечно, цифры реальны.

И вот почему. Вы, наверное, думаете, что я «настоящая». Почему? Потому что гипотеза о том, что я человек, стоящий перед зеленым экраном и пытающийся вспомнить, что буква «h» в слове «человек» произносится, хорошо объясняет ваши наблюдения. Гораздо лучше, чем любая другая гипотеза — например, что я сгенерирована компьютером (в этом случае я, вероятно, выглядела бы лучше) или что я галлюцинация (в этом случае ваше подсознание говорит по-немецки и das macht igendwie keinen Sinn oder)?

Мы используем то же понятие «реальность» в физике: что-то реально потому, что это хорошее объяснение наших наблюдений. Я не пытаюсь сказать вам, что это правильный способ определения реальности, просто я могу сказать, как мы используем это слово. На самом деле, мы не можем увидеть элементарные частицы, такие как бозон Хиггса, собственными глазами. Мы говорим, что они реальны, потому что определенные математические структуры, которые мы придумали, описывают наши наблюдения. То же самое с гравитационными волнами, черными дырами или спином частицы.

И числа такие же. Конечно, мы рассматриваем числа не как объекты, которые ходят вокруг, а как атрибуты объектов – такие, как вращение, которое является свойством определенных частиц, а не вещью как таковой. Если вы видите три яблока, 3 описывает то, что вы видите, следовательно, это реально. Опять же, если вы не хотите использовать это представление о реальности, это совершенно нормально, но я призываю вас придумать другое понятие, которое согласуется с тем, как на самом деле большинство людей используют это слово.

Что интересно, не все числа реальны. Я только что привела пример для целых чисел. Но если вы посмотрите на все числа с бесконечным числом цифр после десятичной точки, нам ведь не нужны все эти цифры для описания наблюдений, потому что мы не можем ничего измерить с бесконечной точностью. На самом деле, нам всегда нужно только конечное количество цифр. Теперь все эти числа с бесконечным числом цифр называются действительными числами. Это означает, как бы странно это ни звучало, что мы не знаем, являются ли реальные числа, эээ, настоящими.

Но, конечно, физика сложнее, чем просто число. Насколько нам известно, все во Вселенной состоит из 25 частиц, удерживаемых вместе четырьмя фундаментальными силами: гравитацией, электромагнитным взаимодействием, а также сильным и слабым ядерным взаимодействием. Эти частицы и их силы могут быть математически описаны с помощью общей теории относительности Эйнштейна и квантовой теории поля, теорий, которые оказались удивительно успешными в объяснении того, что мы наблюдаем.

Что касается науки, я бы сказала, что это все. Но люди часто спрашивают меня, что такое пространство-время? «Что такое частица?» И я не знаю, что делать с такими вопросами.

Пространство-время — это математическая структура, которую мы используем в наших теориях. Эта математическая структура определяется ее свойствами. Пространство-время — это дифференцируемое многообразие с лоренцевой сигнатурой, оно имеет меру расстояния, кривизну и т. д. Это математика.

Мы называем это «реальным», потому что оно адекватно описывает наши наблюдения.

То же самое и с частицами. Частица — это вектор в гильбертовом пространстве, который преобразуется при определенных неприводимых представлениях группы Пуанкаре. Это лучший ответ на вопрос, что такое частица. Мы снова называем эти частицы «реальными», потому что они правильно описывают то, что мы наблюдаем.

Поэтому, когда физики говорят, что пространство-время реально или бозон Хиггса реален, они имеют в виду, что некая математическая структура правильно описывает наблюдения. Но многим это кажется неудовлетворительным. Отчасти это может быть связано с тем, что они ищут простой ответ, а его просто нет. Но я думаю, что есть и другая причина: они интуитивно думают, что в пространстве-времени и материи должно быть нечто большее, что отличает математику от физики.

Должно быть что-то, что делает математику реальной или, как выразился Стивен Хокинг, «вдыхает огонь в уравнения».

Но эти математические структуры в наших теориях уже описывают все наши наблюдения. Это означает: просто руководствуйтесь доказательствами, вам больше ничего не нужно. Поэтому возможно, что на самом деле реальность — это математика, и между ними нет различия. Эта идея не противоречит никаким наблюдениям. Происхождение этой идеи восходит к Платону, поэтому ее часто называют платонизмом, хотя Платон считал, что идеальные математические формы каким-то образом недоступны человеческому осознанию. Совсем недавно эта идея была сформулирована в современной формулировке Максом Тегмарком, который назвал ее гипотезой математической Вселенной.

Гипотеза Тегмарка на самом деле более, так сказать, грандиозна. Он не просто утверждает, что на самом деле реальность — это математика, но что вся математика реальна. Не только математика, которую мы используем в теориях, описывающих наши наблюдения, но и все это: экспоненциальная функция, множества Мандельброта, число 18 — все они реальны, как вы и я. Если вы верите Тегмарку.

Но стоит ли верить Тегмарку? Что ж, как мы видели ранее, оправдание того, что мы называем некоторые математические структуры реальными, состоит в том, что они описывают то, что мы наблюдаем. Это означает, что у нас нет оснований говорить о реальности математики, которая не описывает то, что мы наблюдаем. Поэтому гипотеза математической вселенной не является научной. Обычно это справедливо для всех типов мультивёрса – множественной вселенной. Физики, которые верят в это, утверждают, что ненаблюдаемые вселенные реальны, потому что они находятся в их математике. Но то, что у вас есть математика для чего-то, еще не значит, что это реально! Вы можете просто предположить, что это реально, но поскольку нет необходимости описывать то, что мы наблюдаем, то, следовательно, это ненаучно.

Позвольте мне пояснить: ненаучно – это не значит, что это неправильно. Нет ничего плохого в том, чтобы говорить, что существует экспоненциальная функция или что существует бесконечное множество других вселенных, которые мы не можем видеть. Просто это утверждение, основанное на убеждениях, не подтвержденное доказательствами. Что ошибочно, так это утверждать, что так утверждает наука.

Тогда как насчет вопроса, созданы ли мы из математики? Что ж, вы не можете опровергнуть эту гипотезу. Предположим, у вас есть наблюдение, которое нельзя описать математикой: всегда может быть, что вы просто не нашли правильную математику. Так что идея о том, что мы созданы из математики, тоже не ошибочна, а ненаучна. Вы можете в это поверить, если хотите. Нет никаких доказательств за или против.

В заключение хочу сказать, что я снимаю эти видео не для того, чтобы убедить вас разделить мое мнение. Я просто хочу познакомить вас с некоторыми темами, которые, на мой взгляд, стимулируют размышления: дать вам отправную точку в надежде, что это даст вам что-то интересное для размышлений.