Теорема Нетёр

Теорема Эмми Нётер — теорема, доказанная Эмми Нётер в 1918 году. Была впервые определена в работах учёных гёттингенской школы Д. Гильберта, Ф. Клейна и самой Эмми Нётер.

Данную статью нам прислал Муханнад Касим Мухаммад, бакалавр физики (провинция Салах аль-Дин, округ Самарра, Ирак).

Симметрия… Чего?

Если коротко, то теорема Нётер говорит нам, что для каждой симметрии системы существует сохраняющаяся величина.

Например, если система симметрична по времени, энергия сохраняется; или, если система симметрична относительно пространственных перемещений, сохраняется импульс и т. д.

Мы докажем это позже. Но что же такое симметрия? Представьте, что мы запираем физика в ящике и требуем, чтобы он провел эксперимент:

Затем мы вращаем коробку и физика внутри нее. Если физик повторяет тот же эксперимент с точно такими же начальными конфигурациями и не можем найти никакой разницы в результатах, то мы говорим, что законы, управляющие экспериментом, осесимметричны.

Точно так же, если нет различий при пространственном или временном переносе, то законы, описывающие эксперимент, являются пространственно или временно инвариантными.

«Временной перенос — это когда физик повторяет эксперимент после некоторого ожидания»

Физик описывает эксперимент, используя уравнение движения. Для сравнения результатов после переноса он использует точную исходную конфигурацию:

Если уравнение движения (УД) одинаково и верно до и после, то преобразование является симметрией УД. Таким образом, не было бы возможности найти различия в законах физики. Мы будем использовать это как условие симметрии.

Канонические преобразования

В частности, удовлетворительны преобразования q→Qq,p а также p →Pq, p  которые сохраняют уравнения Гамильтона

допустимыми называют канонические преобразования. Однако, когда дело доходит до теоремы Нётер, нас интересуют симметрии, условие которых:

Где потому что только тогда уравнения Гамильтона действительно были бы инвариантными до и после преобразования.

Например, у нас есть гамильтониан . После постоянный сдвиг x→X=x+s , он гласит:

Что тоже самое, что H(X), и поэтому сдвиг действительно является симметрией. Хотя это часто упускается из виду, для нас важно понимать разницу между активными и пассивными преобразованиями, а также разницу между симметрией и избыточностью.

Симметрия против избыточности

Есть два толкования для x→X=x+s :

1- Система покоится, но система координат перемещается пассивным преобразованиемX=x+s :

2- Система переместилась, но система координат осталась прежней. Координата в системе новой X задается активным преобразованием X=x+s:

Инвариантность по отношению к пассивным преобразованиям есть избыточность, а по отношению к активным преобразованиям — симметрия. Отличие в том, что симметрии реальная особенность системы, в то время как избыточность возникает из нашего математического описания системы, такого как использование криволинейных координат.

Теорема Нётер

Таким образом, мы будем рассматривать только активные преобразования. При бесконечно малом каноническом преобразовании:

Генерируемый генератором G, условие симметрии можно переписать как:

Мы также знаем, что временная эволюция G равна:

И что скобка Пуассона антисимметрична, так что {G,H} = — {H,G} =0 . Это прямо подразумевает:

«поэтому мы узнаем, что если генератор порождает симметрию 0= {H,G}, оно автоматически описывает сохраняющуюся величину. Это теорема Нётер.

Сохранение импульса

Гамильтониан для одного свободного объекта гласит:

H=p²/2m

Предположим, что генератором является сам импульс:

G(q,p) = p

Мы можем проверить, что импульс порождает симметрию как . Генератор действует на координаты фазового пространства через скобку Пуассона:

Поскольку генератором является импульс, они становятся:

Это означает, что координата местоположения q смещается на постоянную величину, и, следовательно, p генерирует пространственные перемещения. Напомним, что 0={H,G} означает, что G=0, так что у нас есть p=0. Мы узнаем здесь, что импульс сохраняется всякий раз, когда система инвариантна относительно пространственных перемещений.

Сохранение энергии

Для этого примера предположим, что генератором преобразования является сам гамильтониан:

G (q,p) = H

Мы можем проверить, что {H,H} действительно равно 0, потому что скобка Пуассона для чего-либо с самим собой равна 0. Это означает, что H порождает симметрию, но какую симметрию? Сгенерированное преобразование гласит:

Отсюда следует (подставляя уравнения Гамильтона):

Это означает, что изменение координат, сгенерированное H, такое же, как изменение, которое мы получим, если будем ждать единицы времени, как q^. и p^. скорости изменения координат. Другими словами, гамильтониан генерирует временные сдвиги. А также, поскольку =0: гамильтониан (обычно полная энергия) сохраняется всякий раз, когда система обладает симметрией переноса во времени, порожденной самим гамильтонианом. Как удивительно!!

Расширенная теорема

Условие симметрии, которое мы обнаружили ранее, слишком жесткое. Мы можем ослабить его, вспомнив, что калибровочное преобразование:

сохраняет уравнение Гамильтона полностью инвариантным, поскольку оно производит постоянные сдвиги к функционалам действия:

При дальнейших вычислениях (которые я опускаю) условие симметрии сводится к . (Поскольку ), мы немедленно  обнаруживаем сохранившуюся величину, потому что ясно:

d/dt (G+F) = 0

Это показывает нам, что когда преобразование удовлетворяет не строгому условию симметрии, а расширенному условию, сохраняющейся величиной является образующая G(q,p) плюс функция F.

Обратная теорема

Ранее мы получили сохраняющуюся величину для каждой симметрии. Посмотрим, верно ли обратное. Учитывая сохраняющееся количество, мы имеем:

Записано в терминах общего уравнения Гамильтона:

Более того, G,H=0 является условием симметрии. Из вышеизложенного мы видим, что это условие всегда выполняется сохраняющейся величиной. Следовательно, каждая сохраняющаяся величина действительно порождает симметрию.

Теорема Нётер не только раскрывает тесную связь между законами сохранения и симметриями природы, но и обеспечивает систематическую процедуру поиска сохраняющихся величин. Эту связь, с момента доказательства теоремы, используют физики.

Процитирую саму Эмми Нётер:

«Мои методы — это на самом деле методы работы и мышления, поэтому они проникли повсюду анонимно».

Прим.:Редакция не несет ответственности за утверждения автора статьи и может быть не согласна с его мнением

Статью подготовил Муханнад Касим Мухаммад Аль-Хунаиди, бакалавр физики (провинция Салах аль-Дин, округ Самарра, Ирак).

___________________________________________________

✒️Подписывайтесь на наш Telegram канал «Гранит науки»
✒️Читайте нас на Яндекс Дзен

📩У нас есть страница на Facebook и Вконтакте
📩Журнал «Гранит Науки» в Тeletype
📩Отправить статью [email protected]
📩Написать редактору [email protected]