Абелевскую премию 2023 года присудили за работы по дифференциальным уравнениям

Математик аргентинского происхождения  Луис Каффарелли получил Абелевскую премию 2023 года за свою работу над дифференциальными уравнениями, которые важны для описания физических явлений, таких как таяние льда и течение жидкостей.

Абелевскую премию, одну из самых престижных премий по математике, ежегодно присуждает Норвежская академия наук и литературы. Ее считают неформальным математическим аналогом Нобелевской премии. Лауреатов определяет Абелевский комитет — пять международно признанных математиков, которые каждый год назначают, исходя из списка кандидатов.

74-летний Луис Каффарелли — первый человек, родившийся в Южной Америке, получивший эту награду. Сейчас он работает в Техасском университете в Остине.

«Немногие из ныне живущих математиков внесли больший вклад в наше понимание дифференциальных уравнений в частных производных, чем Луис Каффарелли, американец аргентинского происхождения», — заявил комитет Абелевской премии.

Размер премии в этом году составит 7,5 миллиона норвежских крон (около 710 тысяч американских долларов), а ее вручение в этом году состоится 23 мая в Осло.

«Результаты Каффарелли «технически безупречны и охватывают множество различных областей математики и ее приложений», — говорится в заявлении Хельге Холден, математика из Норвежского университета науки и технологии в Тронхейме, который возглавляет Комитет Абеля.

К слову, некоторые из работ Луиса Каффарелли нашли применение и в финансовом мире, при оценке определенных опционов — контрактов, по которым у кого-то есть возможность, но не обязательство купить или продать что-то по установленной цене.

Математик с хорошей интуицией

В интервью 2002 года гениальный математик Луис Ниренберг (Абелевская премия 2015 г.) сказал, что у Каффарелли «фантастическая интуиция», из-за которой сотрудникам трудно поспевать за ним. Пишет Nature.

«Он каким-то образом сразу видит то, чего не видят другие люди, но ему бывает трудно это объяснить», — сказал Ниренберг.

Ниренберг также умолял Каффарелли больше писать, потому что у Каффарелли есть привычка излагать в письменном виде лишь часть идей, которые он обсуждает со своими коллегами.

«Люди говорят: «Как он это придумал?» Он может прийти к результатам, которых никто не ожидает», — говорит Хельге Холден.

Он также отметил, что статьи Каффарелли всегда весьма лаконичны и ясны. Он не пишет огромные статьи на 200 страниц, но в его лаконичных текстах всегда есть гениальная идея.

Каффарелли описывает свой стиль занятий математикой как «радостный». «Мне нравится сотрудничество, творчество и длительная дружба», — говорит он.

Каффарелли и дифференциальные уравнения

Каффарелли исследовал систему уравнений Навье — Стокса, описывающих течение жидкости, и уравнения Монжа — Ампера, класс квадратичных уравнений в частных производных второго порядка, полезных, в том числе, в дифференциальной геометрии.

Многие дифференциальные уравнения в частных производных моделируют реальные физические системы и составляют основу математического аппарата значительной части физических задач. В общем виде такие уравнения описывают целое явление, а конкретный смысл приобретают, если задать для них начальные и граничные условия. Так, уравнения Навье — Стокса описывают течение жидкости вообще, а чтобы решить, как именно она будет течь, например, в цилиндрической трубе, для этих уравнений нужно задать граничные условия: в тех точках, где находится стенка трубы скорость жидкости приравнять к нулю. Если задать еще и начальные условия, выраженные через скорость или давление в начальный момент времени, то у задачи возникает конкретный смысл: если найти ее решение, можно описать, как в жидкости в каждый момент времени будет распределена скорость.

В некоторых случаях (например, для той же цилиндрической трубы) у системы уравнений Навье — Стокса есть довольно простые точные решения, известные еще с начала XIX века. Но для большинства граничных условий точного аналитического решения для уравнений не существует. Решать их приходится численно для каждого конкретного случая или искать общие математические закономерности, которые помогают ближе подобраться к решению. Аналогичные вопросы возникают и для других систем уравнений в частных производных.

В своих исследованиях, посвященных уравнениям Навье — Стокса, Каффарелли рассматривает, как ведут себя слабые решения — функции, в которых есть особенности, то есть области, где функция недифференцируема. Такие решения удовлетворяют определенной, «слабой», формулировке изначальной задачи, но из-за наличия особенностей слабые решения часто не имеют прямого физического смысла. Однако их регулярные — то есть дифференцируемые — участки могут оказаться полезными и точно описывать реальные системы. Луис Каффарелли в своих статьях формулирует закономерности, которым должны подчиняться такие слабые решения, если они существуют. В частности, он описывает, каким образом развиваются участки с особенностями и как ведут себя регулярные участки слабых решений.

Так, в работе 1977 года аргентинский математик рассмотрел регулярные участки слабых решений для свободной поверхности жидкости, например в задаче фильтрации — движении жидкости через пористую среду. А в одной из самых известных работ — статье 1982 года — расширил постановку и рассмотрел свойства слабых решений для уравнений Навье — Стокса, описывающих несжимаемую трехмерную жидкость и показал, при каких условиях у них существуют слабые решения с частичной регулярностью.

Еще одна работа, которая упоминается в формулировке Абелевского комитета, — решение задачи Дирихле (тот есть поиск нужной функции внутри определенной области с условиями, заданными на ее границе) для уравнений Монжа — Ампера. У этого класса нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка нет прямых физических приложений, но они часто встречаются, например, в дифференциальной геометрии. Также ученый известен своими работами по теории усреднений и интегро-дифференциальным уравнениям.

В 2022 году лауреатом премии стал Деннис Салливан, премию которому присудили за его исследования по топологии. А в 2021 году премию Абеля получили Ласло Ловас и Ави Вигдерсон — за вклад в развитие информатики и дискретной математики.

_____________________________________________________

✒️Подписывайтесь на наш Telegram канал «Гранит науки»
✒️Читайте нас на Яндекс Дзен

📩У нас есть страница на Facebook и Вконтакте
📩Журнал «Гранит Науки» в Тeletype
📩Прислать статью [email protected]
📩Написать редактору [email protected]