Переведено редакцией «Гранита науки»
Автор: Ханнес Мальмберг — профессор кафедры географии Стокгольмского университета. Основные направления его исследований — человеческая география, демография и сегрегация.
Математика стала краеугольным камнем промышленной революции. Именно новая парадигма измерения и вычислений, а не научные открытия как таковые, заложила основу индустрии, модерности и той реальности, в которой мы живём сегодня.
В школе нам часто рассказывают, что перед промышленной революцией произошла научная — с открытиями Ньютона, раскрывшего механические законы движения, и Галилея, доказавшего истинную структуру Вселенной. И якобы, вооружённые новым знанием и научным методом, изобретатели той эпохи создали машины — от часов до паровых двигателей — которые изменили ход истории.
Но действительно ли наука сыграла ключевую роль?
Многие из важнейших изобретений промышленной революции были созданы без глубокой научной базы, и их авторы не были учёными. Принятая историческая хронология упускает множество ключевых событий предыдущих пяти столетий: бурное развитие торговли по всей Европе, появление линейной перспективы в искусстве, освоение производных в математике, создание акционерных компаний, расширение мореплавания и глобальные войны, инициированные мощными государствами.
Объединяющей нитью этих достижений стало одно: измерение и вычисление. Геометрические расчёты привели к прорывам в живописи, астрономии, картографии, геодезии и физике. Применение математики в общественной жизни дало толчок развитию бухгалтерского учёта, финансов, демографии, экономики — своего рода «социальной математики».
Все эти достижения отражают базовую идею: парадигму расчёта — представление о том, что измерение, вычисление и математика применимы практически ко всем сферам жизни. Эта парадигма распространилась по всей Европе благодаря системе образования, что видно по росту числа математических школ и учебников. И именно эта парадигма, даже больше, чем наука, двигала человечество вперёд. Именно математическая революция создала современность.
Геометрические открытия: от Евклида до Ньютоновой физики
Ренессанс в геометрии начался с повторного открытия трудов Евклида. Перевод его «Начал» на латинский язык был выполнен около 1120 года английским учёным Аделардом из Бата на основе арабской версии из мусульманской Испании. Печатное латинское издание появилось в 1482 году. В 1543 году Тарталья перевёл труд Евклида на итальянский, а вскоре вышли переводы на немецкий (1558), французский (1564), английский (1570), испанский (1576) и нидерландский (1606) языки.
Вне рамок евклидовой геометрии немецкий математик Региомонтан написал первый европейский учебник по тригонометрии — De Triangulis Omnimodis («О треугольниках всех видов») в 1464 году. В XVI веке Франсуа Виет заменил описательный способ ведения алгебры на символический — с использованием переменных x, y, z. На базе его работ Рене Декарт и Пьер Ферма создали аналитическую геометрию, описывающую кривые и поверхности с помощью алгебраических уравнений.
Позже, в конце XVII века, Исаак Ньютон и Готфрид Лейбниц развили эти методы в исчисление — раздел математики, который дал человечеству язык для описания движения и изменений.
Инструменты, вычисления и точность
Помимо теоретических достижений, стремительно совершенствовались и практические инструменты. Особенно это проявилось в измерении углов — в астрономии начали использовать новые приборы, например, муральный квадрант, который значительно повысил точность наблюдений. Благодаря телескопическим прицелам и точной градуировке шкал, угол можно было измерить с невероятной точностью.
Так, между 1550 и 1850 годами точность угловых измерений улучшилась почти в 7 000 раз — с 0,11 градуса до 0,000017 градуса (0,06 угловых секунд).
Угловая точность, измеренная в угловых минутах (1/60 градуса) и угловых секундах (1/3600 градуса).
Изображение иллюстрирует, как с течением времени возрастала точность измерения углов в астрономии — от порядка 10 угловых минут у Коперника до сотых долей угловой секунды у Симмса в XIX веке. Источник: Alan Chapman (1978)
Вычисления стали проще благодаря внедрению индо-арабских цифр и распространению десятичной записи чисел. В 1614 году Джон Непер представил логарифмы, превратившие умножение в сложение, а вскоре после этого появился логарифмическая линейка — эффективный инструмент для вычислений, который использовали до появления электронных калькуляторов.
В то же время широкое распространение получили таблицы математических функций — тригонометрические, логарифмические и другие. Эти таблицы были необходимыми для вычислений, но их создание было трудоёмким процессом. Например, знаменитая тригонометрическая таблица Opus Palatinum de Triangulis (1596) содержала 100 000 значений, выверенных до 10 знаков после запятой. На её создание математик Ретик и команда вычислителей потратили 12 лет, а расходы превысили 50 годовых окладов профессора математики.
Промышленная революция, как и весь современный мир, выросла не только из лабораторий, а прежде всего — из таблиц, чертежей, уравнений и логарифмов. Это была революция расчёта, в которой математика стала универсальным инструментом описания и преобразования мира.
От точных наук до бухгалтерии, от навигации до машиностроения — именно логика чисел и точность формул дали человечеству ту самую технологическую основу, на которой строится современность.
Прикладная геометрия
Развитие математических знаний, производство измерительных инструментов и вычислительных методов стало основой волны новаторских решений, основанных на математике.
В XV веке линейная перспектива произвела революцию в живописи, сделав возможным изображение трёхмерного пространства на двумерной плоскости. Математические принципы этой техники подробно изложены в фундаментальном труде Леона Баттисты Альберти De Pictura («О живописи»), написанном в 1415 году. Уже в первом абзаце автор заявляет, что его трактат будет «заимствовать у математиков те аспекты, которые применимы к предмету». Опираясь на евклидовские понятия — точку, линию, плоскость и поверхность — Альберти объясняет геометрические принципы перспективного изображения.
Параллельно прогресс наблюдался и в геодезии и картографии. В 1450 году Альберти написал Descriptio Urbis Romae («Описание города Рима»), в котором представил таблицу координат ключевых городских объектов, а также дал практические инструкции по землеустройству, измерению географических координат, расстояний и площадей.
В последующие столетия эта работа была значительно развита. Одним из ключевых достижений стало распространение триангуляции. Принцип метода прост: если известны две точки A и B, а также измерены углы α и β до третьей точки C, положение C можно точно определить. Если при этом известно расстояние между A и B, можно также вычислить расстояния от каждой из этих точек до C. Преимущество триангуляции в том, что она заменяет дорогостоящие измерения расстояний на более доступные измерения углов.
После того как математик Гемма Фризий описал в 1533 году применение триангуляции в картографии, метод быстро распространился по Европе. В 1578 году астроном Тихо Браге применил триангуляцию для создания карты острова Вен, где находилась его обсерватория. Метод получил широкое распространение и стал предметом многих учебников, опубликованных до конца столетия.
Эффективность триангуляции значительно возрастает при использовании сетей триангуляции, когда новые точки определяются по уже триангулированным. При достаточно точных измерениях углов такие сети могут достигать высокой точности и охватывать большие расстояния.
В 1615 году нидерландский математик Виллеброрд Снеллиус с помощью сети триангуляции, в которую входили шпили церквей, рассчитал расстояния между 14 городами Нидерландов. А к середине XVIII века французские геодезические экспедиции, проводившие измерения формы Земли, доказали с помощью триангуляции и точных приборов, что наша планета сплюснута у экватора: длина одного градуса широты у полярного круга составляет 111,9 км, а на экваторе — лишь 110,5 км.
Таким образом, сети триангуляции стали основой картографии вплоть до появления спутниковой навигации (GPS).
Математика и военное искусство эпохи Возрождения
Математика сыграла важную роль и в развитии военного дела в эпоху Возрождения. С появлением мощной артиллерии геометрия укреплений стала гораздо более сложной. Архитекторы ввели в обиход звёздчатые форты, или «итальянский фронт» (trace italienne) — низкие, широко раскинутые укрепления со сложным планом. Они окружались системой земляных валов (гласисов) и выступающих треугольных бастионов (равелинов), которые предотвращали прямое попадание артиллерийских снарядов в стены.
Треугольная форма бастионов не только отклоняла ядра, но и позволяла защитникам вести перекрёстный огонь вдоль линии наступления противника. Чтобы построить такие укрепления, требовалась точная геометрия — фортификация стала одной из форм прикладной математики, где расчёты определяли успех обороны.
Параллельно развивалась и баллистика как математическая наука об артиллерии. Первый трактат по этому направлению — Nova Scientia («Новая наука») — был опубликован в 1537 году переводчиком Евклида, Никколо Тарталья. В книге излагалась базовая теория движения снарядов, объяснялось, почему угол в 45 градусов обеспечивает максимальную дальность выстрела, и приводились рекомендации по измерению расстояний и калибровке углов наклона орудий.
На титульной странице трактата Тарталья изображён, преподающий «новую науку траекторий» семи музам в окружённом стенами саду, где на входе стоит Евклид как страж знаний.
Астрономия и геометрическое мышление
Современная астрономия также опиралась на геометрию. Соперничающие модели строения Вселенной — Птолемея, Коперника, Браге и Кеплера — по-разному объясняли угловые измерения, и именно геометрические доводы становились ключевыми в научных спорах.
Математик Региомонтан показал, как с помощью базовой геометрии можно определить расстояние до небесных тел. Главное наблюдение заключалось в том, что независимо от того, вращается ли Земля вокруг своей оси или небеса вращаются вокруг неё, точка вращения находится в центре Земли, а не на её поверхности, где находится наблюдатель. Это означает, что ближние объекты кажутся движущимися быстрее, чем более удалённые.
На схеме, иллюстрирующей этот эффект, видно, как наблюдатель на краю вращающегося тела видит, что ближняя (красная) точка смещается относительно дальней (чёрной), хотя обе находятся в покое.
Именно этот принцип астроном Тихо Браге применил в 1572 году, чтобы доказать, что вспышка сверхновой и появление кометы 1577 года происходили далеко за пределами орбиты Луны. Он отметил, что эти небесные тела перемещаются по небу гораздо меньше, чем Луна, относительно фоновых звёзд. Это стало мощным аргументом против аристотелевского представления, будто всё, что находится за пределами Луны (в «небесной сфере»), вечно и неизменно.
Последний удар по геоцентризму
Окончательный удар по геоцентрической модели Птолемея нанес Галилео Галилей. Опираясь на свои математические знания и инженерный опыт, он усовершенствовал недавно изобретённый телескоп, увеличив его кратность, и с его помощью сделал ряд открытий, кардинально изменивших представления о строении Вселенной.
Одним из ключевых открытий Галилея стало то, что Венера имеет фазы, подобные фазам Луны. Согласно птолемеевской модели, Венера всегда должна находиться между Землёй и Солнцем, а значит, никогда не может быть полностью освещена (не может наблюдаться «полная Венера»). Такое явление возможно только в том случае, если Венера располагается по ту сторону от Солнца, то есть вращается вокруг Солнца, а не вокруг Земли.
Галилей сумел доказать, что наблюдаемые тени и фазы Венеры согласуются только с гелиоцентрической моделью — когда Венера обращается вокруг Солнца. Это наблюдение стало важным аргументом в пользу теории Коперника и серьёзным вызовом господствующему в то время представлению о Земле как центре Вселенной.
Астрономические модели и навигация
Астрономические модели сыграли важную роль в развитии мореплавания, особенно благодаря созданию астрономических альманахов, предсказывавших положения небесных тел на конкретные даты и часы. Если мореплаватели знали, на какой высоте над горизонтом должны находиться определённые звёзды или планеты на разных широтах в разное время года, они могли определять свою широту, измеряя углы и сверяясь с альманахом.
Это позволило кораблям уверенно передвигаться в открытом море: зная широту пункта назначения, моряк мог плыть строго на север или юг, пока положение Солнца (или другого небесного тела) в небе не указывало на достижение нужной широты, после чего следовало двигаться вдоль неё на восток или запад. Таким образом, необходимость следовать исключительно вдоль береговой линии отпадала.
Значение точного определения широты стало очевидным в 1707 году, когда более 1 400 британских моряков погибли: четыре военных корабля разбились у островов Силли, недалеко от Корнуолла. Причиной катастрофы стала ошибка в расчётах широты — отклонение составило от 24 до 36 морских миль (вопреки распространённому мнению, дело было не только в ошибке долготы).
Математика и рождение современной науки
Математические инновации стали основой главного достижения эпохи — возникновения современной науки. В своей книге The Invention of Science историк Дэвид Вуттон показывает, как прогресс в живописи, картографии, геодезии, баллистике, астрономии и навигации подготовил почву для Научной революции XVII века.
Появилось сообщество людей, которое научилось строить математические модели мира и сопоставлять их с точными измерениями, проводимыми с помощью новых инструментов. В астрономии это привело к окончательному отказу от геоцентрической модели. Аналогичный путь прошла и механика: Галилео Галилей, объединив производство приборов, измерения и математику, заложил основы нашего понимания движения.
Когда Галилей писал, что Вселенная — это «книга, написанная на языке математики», он выразил главную идею физической науки Нового времени. Как сказал Вуттон, «Научная революция была прежде всего революцией математиков».
Математизация социальной жизни
Начало так называемой социальной математики положило проникновение арабской алгебры в Европу. Ключевым событием стало издание в 1202 году книги Liber Abaci Леонардо из Пизы, известного как Фибоначчи. Используя примеры из торговли и повседневной жизни, он ввёл индо-арабские цифры и основы алгебры, показав, как эти инструменты могут применяться для решения финансовых задач — от деления прибыли до расчёта платежей.
Фибоначчи также предложил концепцию дисконтированной стоимости, позволяющую пересчитать поток будущих платежей в единую сумму с учётом процента — это стало основой современной финансовой математики.
Бухгалтерия и финансовые институты
На этих теоретических основах развивались и практики, включая двойную запись в бухгалтерии — систему, при которой каждая финансовая операция фиксируется как дебет и кредит. Первые упоминания датируются 1299 годом, но метод широко распространился после публикации в 1494 году книги математика Луки Пачоли Summa de Arithmetica, Geometria, Proportioni et Proportionalita.
Благодаря двойной записи компании смогли точнее отслеживать денежные потоки, выявлять ошибки и рассчитывать финансовую устойчивость. Эта система распространилась среди купцов в Италии, а вместе с развитием процентной математики поддержала рост частных банков.
Такие банковские династии, как Фуггеры и Медичи, использовали бухгалтерию для управления активами и кредитами. Надёжный учёт позволял банкам проще контролировать должников и привлекать инвесторов.
Государственные финансы и война
Государства тоже улучшали свои финансовые практики. Главным стимулом были потребности военных кампаний. Вместо рыцарей вассалов, как в Средневековье, армии стали наёмными, и поле боя требовало уже не клятвы верности, а живых денег.
В конце XV века Габсбурги разработали финансовую модель Hofkammer (придворная казна), с централизованным учётом доходов, расходов и долгов. Этот подход распространился по всей Германии в XVI веке и стал основой роста фискальных возможностей государства — его способности собирать налоги и брать займы. В инструкции 1568 года говорилось, что казначей обязан «вести аккуратные книги с разными разделами и поддерживать их в порядке».
От частной бухгалтерии — к государственной
Жизни отдельных реформаторов показывают, как принципы частного учёта проникали в госуправление. Томас Кромвель, до того как провести реформу английской казны (Тюдоровская революция в управлении), работал в итальянском банке. Саймон Стевин из Нидерландов был бухгалтером, опубликовал первые таблицы по процентным ставкам, а затем стал советником Морица Оранского и автором первого анализа госучёта (1607). Во Франции Жан-Батист Кольбер, выходец из купеческой семьи, реформировал финансовое управление страны в конце XVII века.
Финансовые рынки и рождение количественных общественных наук
Помимо новаций в расчётах процентных ставок, частной и государственной бухгалтерии, эпоха раннего Нового времени ознаменовалась и развитием финансовых рынков, в особенности рынков государственного долга. Важную роль в этом сыграли итальянские города-государства, которые стали настоящими инноваторами в данной сфере.
В период кризисов финансирование потребностей осуществлялось путём обязательных займов у состоятельных граждан. Несмотря на принудительный характер, такие займы приносили проценты и, следовательно, становились финансовыми активами для кредиторов. Со временем появился вторичный рынок для этих долговых обязательств, где кредиторы могли продавать свои права другим лицам — даже если государство ещё не вернуло основную сумму долга.
По оценкам историков, уже в XV веке до 5% государственного долга Италии ежегодно переходило из рук в руки. Возрастающая компетентность частных финансистов и государственных казначеев способствовала дальнейшим финансовым инновациям. Так, Швеция профинансировала свой путь к статусу великой державы, закладывая доходы от экспорта меди. А Англия, чтобы сделать свои долговые обязательства более привлекательными, учредила Банк Англии — как отдельную структуру с особыми правами, включая эмиссию банкнот.
Количественная революция в социальных науках
Эпоха раннего Нового времени стала также свидетелем рождения количественных общественных наук. После участия в земельной переписи Ирландии для армии Кромвеля в 1650-х годах, англичанин Уильям Петти выдвинул идею «политической арифметики» — новой науки, стремившейся к количественной точности в вопросах налогов, государственных расходов, торговли и денежного обращения.
Другой англичанин, Джон Граунт, считается одним из основателей демографии: его работа Natural and Political Observations Made upon the Bills of Mortality («Естественные и политические наблюдения по отчётам о смертности») стала первым системным анализом смертности по статистическим данным.
На основе этих исследований начали составляться таблицы смертности, которые в сочетании с теорией вероятностей, только зарождавшейся тогда, легли в основу страхования жизни. Работа голландца Йохана де Витта The Worth of Life Annuities Compared to Redemption Bonds («Ценность пожизненных рент по сравнению с выкупными облигациями», 1671) считается одной из первых попыток применения вероятностного расчёта в сфере финансов.
На основе этих прорывов в XVIII–XIX веках сформировались современные научные дисциплины:
- экономика,
- эпидемиология,
- демография,
- актуарная математика (наука о страховых расчётах).
Парадигма расчёта
Несмотря на то что описанные нами инновации охватывают широкий спектр областей — от живописи до навигации и бухгалтерии, — все они объединены одним фундаментальным принципом: использованием измерений и математических вычислений для решения реальных задач. Это и есть то, что можно назвать парадигмой расчёта.
Принцип действия этой парадигмы прост. Чтобы решить задачу, её необходимо сначала перевести в числовую форму с помощью количественного измерения. После этого создаётся математическая модель, проводится вычисление — и полученное решение применяется к реальному миру.
Шаг 1: Измерение
Первым этапом является измерение — преобразование реальной ситуации в числовое выражение. Так, Галилей, изучая равномерно ускоренное движение, измерял время, за которое шар катился по наклонным плоскостям разной длины. Бухгалтер же переводит данные об имуществе, активах и транзакциях в цифры, выраженные в единой валюте, и распределяет их по счетам доходов, расходов, активов и обязательств.
В обоих случаях результат — это математическое представление реальности.
Шаг 2: Математическая обработка
Далее следует вычислительная обработка, в которой применяются математические методы и модели. Галилей, например, рассчитал, что время скатывания шара пропорционально квадратному корню из расстояния. Бухгалтер вычисляет прибыль как разницу между доходами и расходами, а капитал — как разницу между активами и обязательствами.
Результатом становится числовой ответ, готовый к интерпретации.
Шаг 3: Применение результата
Заключительный этап — это применение результата на практике. В физике это может быть создание маятниковых часов, основанных на законах движения, или отказ от неверной модели. В бизнесе — инвестиционное решение, основанное на рентабельности, или решение о банкротстве, основанное на показателях платёжеспособности.
Хотя сегодня мы часто воспринимаем разные виды применения математики как совершенно отдельные сферы — наука объясняет природу, навигация определяет курс, бухгалтерия рассчитывает прибыль — все они следуют единой логике: измерить → вычислить → применить. Именно эта логика и есть ядро парадигмы расчёта.
Происхождение и распространение парадигмы расчёта
Как мы можем судить о распространении этой парадигмы? В антропологии подобные идеи называют культурной чертой — передаваемой единицей культурной информации. Такие черты обычно выявляются по характерным артефактам и моделям поведения. Но в случае с парадигмой расчёта мы можем наблюдать её прямую передачу через обучение, поскольку математику практически всегда изучают в школе — через учителей и учебники.
Истоки европейской парадигмы расчёта прослеживаются в проникновении арабской математики в эпоху позднего Средневековья. Эпицентром этого процесса стала северная Италия. Именно здесь в 1202 году Леонардо Пизанский (Фибоначчи) опубликовал Liber Abaci — труд, положивший начало массовому использованию индо-арабских цифр и связанных с ними методов вычислений и решения прикладных задач.
Абакусные школы
Распространению парадигмы способствовал новый тип образовательного учреждения — абакусные школы (scuole d’abaco), ориентированные на торговое сословие. В отличие от латинских школ, они вели обучение на местном языке и не занимались античной филологией, сосредотачиваясь на практических навыках: арифметике, измерениях, бухгалтерии. В этих школах детей учили решать задачи на обмен валюты, составление трудовых договоров и деление прибыли.
Абакусные школы стали важной частью образовательной системы. В Ренессансной Флоренции в них обучался каждый третий мальчик. Среди выпускников — Лука Пачоли, «отец бухгалтерии», и Леонардо да Винчи. Эти школы также сформировали рынок труда для маэстро абако — учителей прикладной математики. Например, Никколо Тарталья, известный переводчик Евклида и автор трактатов по баллистике, был преподавателем абакусной школы.
Расширение на север
Со временем эта форма математического образования распространилась на север Европы. В XV веке в Германии появились Rechenschulen (арифметические школы), организованные Rechenmeisters — мастерами счёта. К 1615 году в Нюрнберге, население которого составляло менее 50 000 человек, действовало 48 подобных школ.
Распространению способствовало изобретение печатного станка. Популярные учебники стали бестселлерами: книга Адама Риза Rechnung auff der Linihen und Federn (1522) переиздавалась 114 раз, а The Ground of Artes Роберта Рекорда (1543) — 46 раз.
База данных по учебникам
Недавнее исследование историка Раффаэле Данны зафиксировало 1 280 текстов по прикладной арифметике, использующих индо-арабские цифры. В базе представлены все известные рукописи и печатные издания от 1202 года (выход Liber Abaci) до 1600 года. Географическая карта распространения показывает, как новая математика зародилась в северной Италии, а затем стремительно распространилась по всей Европе в XV–XVI веках.
Совокупное число опубликованных учебников арифметики в разных городах
Источник: Danna (2021)
Реформация, образование и распространение математических знаний
В XVI веке распространению математических навыков способствовало и протестантское движение. Реформаторы придавали большое значение образованию — как в теологическом, так и в практическом смысле. В образовательной программе, разработанной Филиппом Меланхтоном (учеником математика и астронома Иоганна Штёфлера), математика занимала центральное место.
Француз Петр Рамус в середине XVI века предложил собственную реформу образования, нацеленную на его расширение и практическую ценность. Хотя сам Рамус не был математиком, он глубоко верил в пользу практических навыков, основанных на математике, и включил их в свою систему. Его программа, известная как рамизм, приобрела широкое, пусть и кратковременное, влияние в школах Германии, Нидерландов, Англии, Шотландии, Швеции и частично во Франции. Хотя её популярность пошла на спад в XVII веке, она продолжала влиять на круги религиозных диссидентов, сыгравших ключевую роль в Английской революции и колонизации Новой Англии.
Католическое образование и математика
В католических странах образование всё больше концентрировалось в руках ордена иезуитов, основанного в 1540 году. Их главной задачей было обучение детей и молодёжи. Иезуитские школы финансировались за счёт пожертвований и городских взносов, а их быстрый рост обеспечивался требованием, чтобы выпускники преподавали в течение 3–5 лет после окончания.
Изначально иезуиты преподавали математику как конкурентное преимущество по отношению к абакусным школам и способ привлечения меценатов. Однако в фокусе их образования оставались теология и классические дисциплины, и роль математики была предметом споров.
Когда в конце XVI века в ордене обсуждали учебную программу, иезуит и математик Клавий выступал за ключевую роль математики. Но он столкнулся с оппозицией, настаивавшей на приоритете философии и богословия. В результате, в изданной в 1599 году программе Ratio Studiorum, определявшей структуру иезуитского образования на два века вперёд, математике отводилось лишь несколько абзацев, а её изучение отодвигалось на последний, седьмой год обучения.
Хотя иезуитские школы и дали миру таких мыслителей, как Рене Декарт, структура образования, построенная на классических дисциплинах, сдерживала массовое распространение прикладных математических навыков, ранее передававшихся в абакусных школах и в протестантских учебных программах.
Роль университетов
Традиционные университеты оказали неоднозначное влияние на распространение математических знаний. В XIV–XV веках Парижский и Венский университеты сыграли важную роль в освоении арабской математики, а в дальнейшем университеты оставались центрами передовых математических исследований.
В протестантских странах, благодаря усилиям Меланхтона, математика стала частью университетских программ. Однако она по-прежнему конкурировала с школастической традицией, где доминировали грамматика, логика и риторика.
Были и исключения. В частности, в тех странах, где рамизм имел влияние — Нидерландах, Швеции (начало XVII века) и Шотландии (вторая половина XVII века) — наблюдался рост интереса к математике. Но настоящим толчком стало осознание государствами стратегической важности технических знаний. Пример — основание инженерных колледжей во Франции в XVII веке, а в XVIII — массовое открытие военных училищ, в программах которых математика играла ключевую роль.
Частные академии и практическое образование
Пока университеты колебались в отношении «парадигмы расчёта», именно частное образование стало настоящей почвой для её расцвета. Растущий спрос на специалистов в торговле, навигации и приборостроении создал мотивацию платить за практические математические навыки.
В XVII веке в Англии начали появляться частные академии, обучавшие письму, двойной бухгалтерии, арифметике и другим прикладным дисциплинам. К концу XVIII века таких учреждений было уже около 200.
Кроме того, существовали академии диссидентов — для неангликан, которым был закрыт путь в традиционные университеты. Эти академии часто предлагали более практико-ориентированное образование, чем официальные вузы.
Измерение распространения: книги по прикладной математике
Оценить распространение математических навыков можно по росту числа изданий по прикладной математике. Исследователи экономической истории Морган Келли и Кормак О’Града проанализировали публикации в Англии, связанные с темами:
арифметика, астрономические инструменты, бухгалтерия, компасы, геометрия, артиллерия, логарифмы, измерения, навигация, кораблестроение, съёмка местности, тригонометрия и др.
В начале XVI века такие книги в Англии практически отсутствовали. Но уже к XVIII веку в каждой из этих областей выходили сотни изданий за десятилетие. Это ясно указывает на то, как быстро парадигма расчёта проникла в повседневную жизнь и образование.
Математика, механические искусства и промышленная революция
К 1750 году парадигма вычислений распространилась по всей Европе. Она способствовала инновациям в самых разных областях и тем самым проложила путь к современному миру. Однако классическая промышленная революция ещё не началась, и математика ещё не достигла широкого успеха в сфере механизированного производства.
Причина не была в отсутствии интереса. Со времён Возрождения математики мечтали покорить механические искусства. Леонардо да Винчи изучал математические трактаты по механике и создавал свои знаменитые проекты летательных аппаратов. В 1588 году итальянский инженер Рамелли представил сборник чертежей машин с восьмистраничным предисловием, в котором восхвалял математику как основу всех механических искусств.
Однако до промышленной революции стремления часто опережали достижения. Многие машины Леонардо были известны своей непрактичностью, а книга Рамелли о машинах, несмотря на популярность, не произвела впечатления на практиков. До промышленной революции люди, занятые делом, часто считали математиков поверхностными мечтателями.
Ситуация изменилась после 1750 года. В ходе промышленной революции инженеры добились значительных успехов, рассматривая производство как выполнение математического плана. Почему инженерам XVIII века удалось то, чего не смогли добиться математики эпохи Возрождения?
Одной из важных причин стало то, что инженеры XVIII века могли достигать гораздо большей точности в производстве. Точность критически важна для механизации, поскольку снижает трение и обеспечивает равномерное поведение деталей — даже небольшие трения и отклонения в работе могут нарушить тонкую настройку машины.
В более общем смысле, точность позволяет создавать реальные объекты, соответствующие математическим идеализациям. Инженеры могли переходить от абстрактного проектирования машин к созданию надёжных прототипов. Пионеры промышленной революции придавали большое значение точности, и по мере развития революции требования к ней становились всё строже. В 1770-х годах Джеймс Уатт гордо заявлял, что цилиндры его парового двигателя были просверлены с точностью до 1/20 дюйма. К 1850-м годам автоматы Джозефа Уитворта стремились к точности 1/10 000 дюйма.
Особое место занимала Англия XVIII века с её обилием ремесленников, способных выполнять работы высокой точности. В период с 1700 по 1800 год в Англии удвоилось число часовщиков и изготовителей инструментов, согласно исследованиям Келли и О’Грады. Помимо часов, эти мастера производили инструменты для математических дисциплин, таких как землеустройство, навигация, бухгалтерия и астрономия. Ремесленники в этих областях становились мостом между математикой и ручным трудом — понимание изделий требовало математических знаний, а их изготовление — ловкости рук. Когда началась промышленная революция, этих изготовителей инструментов привлекли к созданию сложных паровых и ткацких машин, ставших движущей силой революции.
Проектирование машин промышленной революции требовало базовых арифметики и геометрии: невозможно добиться точности, не следуя математическому плану. Однако необходимая математика не была сложной. Как только человек знал основы математики и был готов применять их на практике, главной задачей становилась реализация.
С этой точки зрения промышленная революция требовала, чтобы базовые математические знания и количественное мышление распространились на тех, кто непосредственно занимался производством. Именно это и произошло в Англии.
Изображение из Библиотеки Конгресса.
Хотя многие пионеры промышленной революции имели лишь скромное формальное образование, они находили способы овладеть базовыми математическими навыками. Иногда короткое обучение в сельской школе обеспечивало математическую подготовку. Изобретатель прядильной машины «мул» Самуэль Кромптон рано остался без отца и с детства работал прядильщиком, но ходил в школу, где учитель «имел значительную репутацию как преподаватель, особенно письма, арифметики, бухгалтерии, геометрии, измерений и математики». Вечерние занятия предназначались для тех, кто пропустил формальное образование. Именно так Джордж Стефенсон, «отец железных дорог», к 18 годам освоил письмо и арифметику. Быстро растущий рынок учебников также делал самообразование возможным — по этому пути пошёл знаменитый часовщик Джон Харрисон.
Жизни пионеров дают дополнительные доказательства математического мышления. Джозеф Брэмах (1748–1814) был слесарем, внёсшим вклад в раннее прецизионное производство. Он покинул школу в 12 лет, чтобы работать на ферме отца, а позже стал учеником плотника. Однако его математический взгляд очевиден из труда «Основы конструкции замков». В книге объясняется, как замки Брэмаха стали практически неразломными благодаря тому, что сейчас математики называют комбинаторным взрывом — факту, что даже небольшое число объектов можно расположить в необычайно большом числе вариантов. Брэмах отмечает, что если в замке всего 12 движущихся частей с 12 различными положениями, «окончательное число перестановок, которое может быть достигнуто, составляет 479 001 600; а если добавить ещё один слайд, число перестановок станет равным 6 227 020 800; и так далее бесконечно, по мере добавления новых слайдов».
Другой пример — самый известный ученик Брэмаха, Генри Модслей, основатель производства станков. Модслей также начал работать в 12 лет, но обладал математическим складом ума: он был известен своим неустанным стремлением к точным измерениям, изобрёл новый тип линейки и в личной жизни применял систему ранжирования людей по шкале от 0 до 100. Очевидно, что количественное мировоззрение не требовало знаний высшей математики.
Современное вычисление
Наш рассказ показывает, как развитие современного мира связано с распространением вычислительной парадигмы.
После её проникновения в Европу из арабоязычных стран в XIII веке, парадигма первоначально ограничивалась несколькими университетами и итальянскими торговыми городами. Тем не менее, она нашла плодородную почву и постепенно распространилась по территории, чему способствовали печатный станок и новые формы образовательных учреждений. Парадигма распространилась и по социальным слоям — от первоначальных носителей среди торговцев и профессоров университетов до администраторов, ремесленников, мелких предпринимателей и моряков. К концу XVIII века парадигма достигла даже скромной сельской школы Самуэля Кромптона в Болтоне, на севере Англии.
Вслед за распространением парадигмы появились инновации в живописи, картографии, астрономии, навигации, физике, государственном управлении, финансах и бухгалтерии на протяжении всего раннего нового времени. Но был один ключевой пробел — процесс производства, который долгое время ускользал от математики, поскольку теоретики не могли преодолеть пропасть между теорией и практикой. Этот прорыв произошёл в Англии XVIII века, когда новый класс инженеров и изготовителей инструментов объединил базовые математические навыки с ремесленным мастерством, необходимым для практического воплощения математических идей.
Наш рассказ заканчивается в 1800 году, когда парадигма наконец проникла в производство. В последующие 200 лет эта парадигма продолжала распространяться, охватывая всё больше людей и областей деятельности. Со времени внедрения всеобщего школьного образования мы ожидаем, что все дети умеют считать с помощью индийско-арабских цифр. Примечательно, что мы называем «базовой арифметикой» навык, который до относительно недавнего времени был прерогативой узких специалистов и практически не преподавался вне нескольких североитальянских городов.
За последние 200 лет влияние математики углубилось почти во всех сферах человеческой деятельности, чему способствовали потоки данных и резкий рост вычислительных мощностей. Теперь мы используем математику для моделирования ядерных войн, подбора игроков для бейсбольных команд, анализа изменений в литературе и прогнозирования президентских выборов. Иногда кажется, что парадигма исчерпала себя и что все области, где математика может быть полезна, уже познакомились с ней. Но, возможно, сейчас мы приближаемся к наибольшему успеху вычислительной парадигмы — моделированию интеллекта с помощью математики и больших языковых моделей. В этом смысле вычислительная парадигма может подходить к своему логическому завершению — превращению нас всех в математику.
Поделиться ссылкой:
Больше на Granite of science
Подпишитесь, чтобы получать последние записи по электронной почте.
